Método pela distância
A ideia é simples: olhe a distância do centro da circunferência até a reta.
| Posição | Condição | Pontos comuns |
|---|---|---|
| Secante | d(C,r) < R | 2 |
| Tangente | d(C,r) = R | 1 |
| Externa | d(C,r) > R | 0 |
Exemplo pela distância
Determine a posição da reta x + y - 1 = 0 em relação à circunferência x² + y² = 4.
1Centro: (0,0). Raio: 2.
2Distância do centro à reta: |-1|/√(1²+1²)=1/√2.
Como 1/√2 < 2, a reta é secante.
Prova: em muitas questões, não é necessário encontrar os pontos de interseção. Basta comparar a distância do centro à reta com o raio.
Método pelo discriminante
Esse método aparece quando você substitui a reta na circunferência e obtém uma equação do 2º grau. O número de soluções reais indica quantos pontos de interseção existem.
| Discriminante | Interpretação |
|---|---|
| Δ > 0 | duas soluções reais, dois pontos de interseção |
| Δ = 0 | uma solução real, tangência |
| Δ < 0 | nenhuma solução real, reta externa |
Exemplo resolvido
Determine a posição da reta y=x+3 em relação à circunferência x²+y²=5. Se secante, encontre os pontos.
1Substitua: x²+(x+3)²=5.
22x²+6x+4=0, então x²+3x+2=0.
3Δ=9-8=1>0, logo é secante. Raízes: x=-1 e x=-2.
Pontos: (-1,2) e (-2,1).
Modelo com parâmetro
Estilo prova completa/vestibular
Para qual valor de k a reta x+y+k=0 é tangente à circunferência x²+y²=8?
1Centro: (0,0). Raio: √8=2√2.
2Distância do centro à reta: |k|/√2.
3Tangência: |k|/√2 = 2√2.
|k|=4, então k=4 ou k=-4.
Pegadinha: questões de tangência costumam esconder a ideia de distância do centro à reta igual ao raio.
Exercícios
Posição reta-circunferência
A reta x+y=1 e a circunferência x²+y²=4 são:
Discriminante
Se ao substituir a reta na circunferência aparece Δ = 0, a reta é:
Parâmetro
Para x+y+k=0 ser tangente a x²+y²=8, os valores de k são: