Posições relativas entre duas circunferências
Para comparar duas circunferências, calcule a distância entre os centros e compare com a soma e a diferença dos raios.
| Posição | Condição | Pontos comuns |
|---|---|---|
| Externas | d > R+r | 0 |
| Tangentes externas | d = R+r | 1 |
| Secantes | |R-r| < d < R+r | 2 |
| Tangentes internas | d = |R-r| | 1 |
| Internas sem corte | d < |R-r| | 0 |
Pegadinha: tangência externa usa d=R+r. Tangência interna usa d=|R-r|.
Exemplo resolvido
Determine a posição de C₁: x²+y²=9 e C₂: (x-4)²+y²=4.
1Centros: (0,0) e (4,0). Raios: 3 e 2.
2Distância entre centros: d=4. Soma: 5. Diferença: 1.
Como 1 < 4 < 5, são secantes.
Tópico avançado: potência de ponto analítica
A potência de ponto serve para saber se um ponto está dentro, fora ou sobre a circunferência apenas substituindo suas coordenadas na equação geral.
Potência de P(x₀,y₀)
π(P)=x₀²+y₀²+Dx₀+Ey₀+F
| Sinal | Interpretação |
|---|---|
| π(P)>0 | P é exterior |
| π(P)=0 | P pertence à circunferência |
| π(P)<0 | P é interior |
Prova forte: esse tópico é mais útil para provas completas, vestibulares e aprofundamento. Para começar, primeiro domine centro, raio, forma geral e posição reta-circunferência.
Comprimento da tangente por potência
Se P é exterior e uma reta por P intersecta a circunferência nos pontos A e B, então PA·PB=π(P). Para tangente, o comprimento satisfaz:
Tangente a partir de ponto externo
PT² = π(P)
Exemplo resolvido
Calcule o comprimento da tangente traçada de P(5,4) à circunferência x²+y²-2x-4y-4=0.
1Substitua P na equação: 25+16-10-16-4=11.
2Logo, π(P)=11.
PT=√11.
Pegadinha: se a potência der negativa, o ponto está dentro da circunferência e não existe tangente real traçada a partir dele.
Exercícios avançados
Duas circunferências
Se R=5, r=2 e d=7, as circunferências são:
Potência
Se π(P)>0 em relação a uma circunferência, então P é:
Tangente
Se π(P)=36 e P é exterior, o comprimento da tangente PT é: