Equações da circunferência
Definição analítica
A circunferência de centro C(a, b) e raio r é o conjunto de todos os pontos P(x, y) do plano tais que d(P, C) = r. Aplicando a fórmula da distância:
(x − a)² + (y − b)² = r²
Esta é a forma canônica (ou reduzida) da equação da circunferência.
Caso especial — origem: Quando C = (0,0), a equação simplifica para x² + y² = r².
Forma geral
Forma geral e conversão para canônica
Forma Geral
Expandindo (x−a)²+(y−b)²=r², obtemos:
x² + y² + Dx + Ey + F = 0
onde D = −2a, E = −2b, F = a² + b² − r². Nem toda equação deste tipo representa uma circunferência real — é preciso verificar se r² > 0.
Conversão — completar quadrados
Para converter x²+y²+Dx+Ey+F=0 para a forma canônica, complete o quadrado em x e em y separadamente.
▶ Ver procedimento
1
Agrupe:
(x²+Dx) + (y²+Ey) = −F2
Complete:
(x+D/2)² − D²/4 + (y+E/2)² − E²/4 = −F3
(x+D/2)² + (y+E/2)² = D²/4 + E²/4 − F4
Centro:
C = (−D/2, −E/2). Raio: r = √(D²/4 + E²/4 − F). Circunferência real se r² > 0. ■Exemplo resolvidoMédio
Encontre centro e raio: x² + y² − 6x + 4y − 3 = 0.
1
(x²−6x) + (y²+4y) = 32
(x−3)² − 9 + (y+2)² − 4 = 3 → (x−3)² + (y+2)² = 163
Centro C = (3, −2), raio r = 4.
C = (3, −2) | r = 4
Reta e circunferência
Posições relativas: reta e circunferência
Para determinar a posição relativa entre uma reta r e uma circunferência de centro C e raio R, calcule a distância d do centro à reta e compare com R:
| Posição | Condição | Pontos comuns |
|---|---|---|
| Secante | d(C, r) < R | 2 pontos |
| Tangente | d(C, r) = R | 1 ponto (tangência) |
| Externa (não corta) | d(C, r) > R | 0 pontos |
Método algébrico: Substitua a equação da reta na equação da circunferência e analise o discriminante Δ da equação quadrática resultante: Δ > 0 (secante), Δ = 0 (tangente), Δ < 0 (externa).
Exemplo resolvidoDifícil
Determine a posição da reta r: y = x + 3 em relação à circunferência x² + y² = 5. Se secante, encontre os pontos de interseção.
1
Substitua y = x+3 na equação:
x² + (x+3)² = 5 → 2x² + 6x + 9 = 5 → 2x² + 6x + 4 = 0 → x² + 3x + 2 = 02
Δ = 9 − 8 = 1 > 0 → secante. Raízes:
x = (−3±1)/2 → x₁=−1, x₂=−23
y₁ = −1+3 = 2; y₂ = −2+3 = 1. Pontos:
(−1,2) e (−2,1).Secante — pontos: (−1, 2) e (−2, 1)
Reta tangente
Reta tangente à circunferência
Equação da tangente
A reta tangente à circunferência (x−a)²+(y−b)²=r² no ponto T(x₀,y₀) da circunferência é:
(x₀−a)(x−a) + (y₀−b)(y−b) = r²
Para circunferência centrada na origem: x₀x + y₀y = r²
▶ Ver demonstração
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O raio CT tem direção (x₀−a, y₀−b). A tangente em T é perpendicular ao raio.
2
Equação da reta perpendicular a (x₀−a, y₀−b) passando por T:
(x₀−a)(x−x₀) + (y₀−b)(y−y₀) = 03
Expandindo e usando (x₀−a)²+(y₀−b)²=r²:
(x₀−a)(x−a)+(y₀−b)(y−b) = r². ■Exemplo resolvidoDifícil
Encontre as equações das retas tangentes à circunferência x²+y²=25 traçadas pelo ponto externo P(7, 1).
1
Seja T(x₀,y₀) o ponto de tangência. Condição de tangência:
x₀·7 + y₀·1 = 25 → 7x₀ + y₀ = 252
T ∈ circunferência:
x₀² + y₀² = 25. De (1): y₀ = 25−7x₀.3
x₀² + (25−7x₀)² = 25 → 50x₀² − 350x₀ + 600 = 0 → x₀²−7x₀+12 = 0 → x₀=3 ou x₀=44
T₁=(3,4): tangente
3x+4y=25. T₂=(4,3): tangente 4x+3y=25.3x + 4y = 25 e 4x + 3y = 25
Duas circunferências
Posições relativas entre duas circunferências
| Posição | Condição (d = dist. centros) | Pontos comuns |
|---|---|---|
| Externas | d > R + r | 0 |
| Tangente externa | d = R + r | 1 (ponto externo) |
| Secantes | |R−r| < d < R+r | 2 |
| Tangente interna | d = |R−r| | 1 (ponto interno) |
| Interna (não corta) | d < |R−r| | 0 |
| Concêntricas | d = 0, R ≠ r | 0 |
Exemplo resolvidoMédio
Determine a posição das circunferências C₁: x²+y²=9 e C₂: (x−4)²+y²=4.
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C₁: centro O₁=(0,0), R=3. C₂: centro O₂=(4,0), r=2.
2
d = d(O₁,O₂) = 4. R+r = 5. |R−r| = 1.
3
1 < 4 < 5 → condição de secantes.
Secantes (2 pontos em comum)
Potência de ponto
Potência de um ponto em relação à circunferência
Definição analítica — Potência de ponto
Dado o ponto P(x₀, y₀) e a circunferência x²+y²+Dx+Ey+F=0, a potência de P em relação à circunferência é:
π(P) = x₀² + y₀² + Dx₀ + Ey₀ + F
π(P) > 0: P é exterior · π(P) = 0: P ∈ circunferência · π(P) < 0: P é interior
Relação com segmentos
Se P é exterior e uma reta por P intersecta a circunferência nos pontos A e B, então PA·PB = π(P) = d(P,C)² − R².
Para a tangente PT: PT² = π(P). Isso conecta diretamente a potência analítica com a potência geométrica de Steiner.
Exemplo resolvidoDifícil
Calcule o comprimento da tangente traçada do ponto P(5, 4) à circunferência x²+y²−2x−4y−4=0.
1
Potência de P:
π = 5²+4²−2·5−4·4−4 = 25+16−10−16−4 = 112
π > 0 → P é exterior. Comprimento da tangente:
PT = √π = √11PT = √11 ≈ 3,317
Exercícios
Exercícios
Exercício 1 — Forma canônica
A circunferência (x−2)²+(y+3)²=16 tem centro e raio:
Exercício 2 — Forma geral
Centro da circunferência x²+y²+4x−6y+4=0:
Exercício 3 — Posição reta-circunferência
A reta x+y=1 e a circunferência x²+y²=4 são:
Exercício 4 — Tangente
A tangente à circunferência x²+y²=25 no ponto (3,4) é: