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Sistemas lineares e forma matricial

Coeficientes organizados

Modele sistemas como AX=B.

Sistema linear

Equações de primeiro grau nas incógnitas formam sistema linear.

Forma matricial

A reúne coeficientes, X incógnitas e B termos independentes.

AX=B

Solução

Uma solução satisfaz simultaneamente todas as equações.

Geometria

Duas equações em duas incógnitas representam retas: interseção única, nenhuma ou infinitas.

Modelagem

Defina incógnitas, traduza condições e verifique unidades e domínio.

Pegadinhas e condições

  • Não altere a ordem das incógnitas entre linhas.
  • Resolver cada equação isoladamente não basta; a solução é comum.

Questões resolvidas

1. Montagem

Escreva x+2y=5; 3x−y=4 em AX=B.

A=[1 2;3 −1].

X=[x;y] e B=[5;4].

2. Verificação

Teste (1,2) em x+y=3 e 2x−y=0.

1+2=3.

2·1−2=0; satisfaz ambas.

Exercícios

Fácil

1. Em AX=B, X contém:

A) coeficientesB) incógnitasC) determinantesD) linhas nulas
Fácil

2. Uma solução deve satisfazer:

A) uma equaçãoB) a primeira apenasC) todasD) nenhuma
Médio

3. Sistema 2×2 representa geometricamente:

A) dois pontosB) duas retasC) dois círculosD) um plano apenas
Médio

4. Se A é invertível, X=

A) ABB) BAC) A⁻¹BD) B⁻¹A
Difícil

5. Antes de montar A, deve-se:

A) trocar variáveis por linhasB) fixar a ordem das incógnitasC) calcular det BD) zerar B

Gabarito comentado:

1-B: É o vetor de variáveis.

2-C: Simultaneamente.

3-B: Cada equação linear é reta.

4-C: Multiplique à esquerda.

5-B: A ordem deve ser consistente.

Resumo final

  • Sistema reúne equações lineares.
  • AX=B organiza coeficientes.
  • Solução satisfaz todas as linhas.
  • Modelagem começa pela definição das incógnitas.