Do sistema à matriz ampliada
Em um sistema linear, cada linha representa uma equação e cada coluna antes da barra representa uma incógnita, sempre na mesma ordem:
a₂₁x+a₂₂y=b₂
[A|B]=
[ a₁₁ a₁₂ | b₁ ]
[ a₂₁ a₂₂ | b₂ ]
- A é a matriz dos coeficientes; B é a coluna dos termos independentes.
- [A|B] é a matriz ampliada.
- Uma linha corresponde a uma equação; uma coluna, a uma incógnita ou a B.
- O pivô é o primeiro elemento não nulo de uma linha não nula na forma escalonada.
Atenção: toda operação deve ser aplicada à linha inteira, inclusive ao termo independente. Alterar só parte da linha muda o sistema.
Operações elementares e equivalência
As operações a seguir preservam exatamente o conjunto solução porque cada uma possui uma inversa:
Troca
Muda apenas a ordem das equações; repetir a troca a desfaz.
Multiplicação
A inversa multiplica por 1/λ; por isso λ não pode ser zero.
Soma de múltiplo
A inversa soma −λLⱼ.
Operações inválidas
- multiplicar uma linha por zero ou apagar uma linha não redundante;
- alterar apenas parte da linha ou esquecer a coluna B;
- trocar colunas sem reinterpretar as incógnitas;
- dividir por expressão paramétrica sem analisar quando ela é zero.
Forma escalonada e reduzida
Uma matriz está em forma escalonada quando:
- linhas nulas ficam abaixo das não nulas;
- o primeiro elemento não nulo de cada linha é o pivô;
- cada pivô fica à direita do pivô anterior;
- todos os elementos abaixo de cada pivô são zero.
Na forma escalonada reduzida, cada pivô também vale 1 e é o único elemento não nulo de sua coluna.
Gauss chega à forma escalonada e usa retrossubstituição. Gauss-Jordan continua até a forma reduzida. A forma escalonada não é única.
Escolha do pivô
O pivô deve ser não nulo. Se o candidato for zero, pode-se trocar linhas. Se ele contiver parâmetro, separe os valores que o anulam antes de qualquer divisão.
Gauss e retrossubstituição
Para x+y+z=6, x−y+z=2 e 2x+z=5:
[1 −1 1 | 2]
[2 0 1 | 5]
Com L₂←L₂−L₁ e L₃←L₃−2L₁:
[0 −2 0 | −4]
[0 −2 −1 | −7]
Depois, L₃←L₃−L₂:
[0 −2 0 | −4]
[0 0 −1 | −3]
Resolva da última equação não nula para cima: z=3, y=2 e x=1. Esse processo é a retrossubstituição.
Classificação pelo escalonamento
Sistema possível e determinado — SPD
Uma única solução; há pivô em todas as colunas das incógnitas.
Sistema possível e indeterminado — SPI
Sistema compatível com uma ou mais variáveis livres; possui infinitas soluções.
Sistema impossível — SI
Surge [0 0 … 0|c], com c≠0, isto é, 0=c.
[0 0 … 0|0] é uma equação redundante, não uma contradição.
Condição essencial: em um sistema compatível, uma variável cuja coluna não contém pivô é uma variável livre. A existência de pelo menos uma variável livre produz infinitas soluções. Se houver linha contraditória, o sistema é SI.
Parametrização e sistemas homogêneos
Duas variáveis livres
Em x+2y−z=3, somente a coluna de x tem pivô. Tome y=s e z=t, com s,t reais:
S={(3−2s+t, s, t);
s,t∈ℝ}
Homogêneos
AX=0 sempre possui a solução trivial X=0. Se houver variável livre, existem infinitas soluções, inclusive não triviais. Em x+y=0 e 2x+2y=0, por exemplo, y=t e x=−t.
Sistemas com parâmetros
- Monte [A|B] e escalone sem dividir por expressões paramétricas.
- Localize fatores que podem valer zero.
- Separe os valores especiais.
- Em cada caso, procure contradição e depois identifique pivôs e variáveis livres.
- Classifique e resolva ou parametrize, quando pedido.
Em x+y=2 e x+ky=3, L₂←L₂−L₁ produz [0 k−1|1]. Se k≠1, há pivô em y e o sistema é SPD. Se k=1, surge [0 0|1] e o sistema é SI. Dividir por k−1 antes dos casos eliminaria a exceção.
Pegadinhas e condições
- Nunca multiplique uma linha por zero.
- Em L₂←L₂−kL₁, distribua o sinal e opere também B.
- Não confunda linha nula com contradição.
- Não declare variável livre antes de confirmar a compatibilidade.
- Não divida por parâmetro sem separar o caso zero.
- Se o pivô candidato for zero, considere trocar linhas.
- Forma escalonada não é necessariamente reduzida nem única.
- Não pare antes de zerar os elementos abaixo dos pivôs necessários.
- Confira a solução no sistema original.
Questões resolvidas
1. Sistema 2×2
x+y=5; x−y=1.
L₂←L₂−L₁ dá [0 −2|−4].
y=2 e x=3.
2. Sistema 3×3
x+y+z=6; x−y+z=2; 2x+z=5.
L₂−L₁ e L₃−2L₁ dão [0 −2 0|−4] e [0 −2 −1|−7].
L₃←L₃−L₂; então z=3, y=2 e x=1.
3. Pivô zero
y=2; x+y=5.
Troque L₁↔L₂: [1 1|5; 0 1|2].
y=2 e x=3.
4. Sistema impossível
x+y=2; 2x+2y=5.
L₂←L₂−2L₁ gera [0 0|1].
A contradição 0=1 torna o sistema SI.
5. Variáveis livres
x+2y−z=3.
Com y=s e z=t, x=3−2s+t.
S={(3−2s+t,s,t); s,t∈ℝ}.
6. Homogêneo
x+y=0; 2x+2y=0.
A segunda linha vira nula.
y=t, x=−t; há infinitas soluções.
7. Parâmetro
x+y=2; x+ky=3.
L₂−L₁ dá [0 k−1|1].
k≠1: SPD; k=1: SI.
8. Gauss-Jordan
Reduza [1 1|5; 1 −1|1].
L₂←L₂−L₁ e L₂←−L₂/2 dão [0 1|2].
L₁←L₁−L₂ dá [1 0|3]. Logo (3,2).
Exercícios
1. Qual operação é válida?
2. A matriz de x+2y=3 e 3x−y=4 é:
3. Em [1 1|3; 2 3|8], após L₂←L₂−2L₁:
4. x+y=5 e x−y=1 têm solução:
5. [1 2|3; 0 0|0], com duas incógnitas, é:
6. A linha [0 0|1] indica:
7. x+2y=0 e 2x+4y=0 têm:
8. Pivô candidato zero e elemento não nulo abaixo: deve-se:
9. x+y=2 e x+ky=3 são:
10. Resolva x+y+z=6, x−y+z=2 e 2x+z=5.
Gabarito comentado:
1-A: soma de múltiplo é reversível.
2-C: as colunas seguem x, y e B.
3-B: [2 3|8]−2[1 1|3]=[0 1|2].
4-D: somando, 2x=6; x=3 e y=2.
5-C: compatível e com uma variável livre.
6-A: representa 0=1.
7-B: y=t e x=−2t.
8-D: a troca cria pivô não nulo.
9-C: (k−1)y=1; k=1 gera contradição.
10-A: o escalonamento dá z=3, y=2 e x=1.
Resumo final
- As três operações elementares permitidas preservam soluções.
- Toda operação alcança a linha inteira, inclusive B.
- Gauss usa forma escalonada e retrossubstituição; Gauss-Jordan chega à reduzida.
- [0…0|c], c≠0, torna o sistema SI; [0…0|0] é redundância.
- Variável sem pivô só é livre num sistema compatível.
- Com parâmetros, separe valores que anulam pivôs antes de dividir.