EstudaMath

Matriz inversa

Desfazer transformações

Encontre inversas e resolva equações matriciais.

Definição

A⁻¹ satisfaz AA⁻¹=A⁻¹A=I.

Existência

A quadrada é invertível se, e somente se, det A≠0.

Ordem 2

[a b;c d]⁻¹=(1/(ad−bc))[d −b;−c a]

Gauss-Jordan

Escalone [A|I] até [I|A⁻¹].

Equações

AX=B implica X=A⁻¹B quando A é invertível.

Pegadinhas e condições

  • 1/A não significa inverter cada entrada.
  • A⁻¹ só existe para matriz quadrada não singular.

Questões resolvidas

1. Inversa 2×2

Inverta [2 0;0 3].

Determinante 6.

Inversa [1/2 0;0 1/3].

2. Equação

Se AX=B e A é invertível, isole X.

Multiplique à esquerda por A⁻¹.

X=A⁻¹B.

Exercícios

Fácil

1. A é invertível quando:

A) det A=0B) det A≠0C) A é retangularD) todas entradas são 1
Fácil

2. I⁻¹=

A) 0B) −IC) ID) 2I
Médio

3. A inversa de [2 0;0 5] é:

A) [2 0;0 5]B) [1/2 0;0 1/5]C) [5 0;0 2]D) não existe
Médio

4. (AB)⁻¹=

A) A⁻¹B⁻¹B) B⁻¹A⁻¹C) ABD) A+B
Difícil

5. Se det A=−4, det(A⁻¹)=

A) −4B) 4C) −1/4D) 1/4

Gabarito comentado:

1-B: Critério fundamental.

2-C: I·I=I.

3-B: Inverta entradas diagonais não nulas.

4-B: A ordem se inverte.

5-C: É o recíproco.

Resumo final

  • Inversa desfaz multiplicação.
  • Existe exatamente quando det≠0.
  • Gauss-Jordan funciona em qualquer ordem invertível.
  • A ordem se inverte em (AB)⁻¹.