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Propriedades dos determinantes

Simplifique antes de calcular

Use operações de linha e propriedades estruturais.

Troca de linhas

Trocar duas linhas multiplica o determinante por −1.

Escala

Multiplicar uma linha por k multiplica o determinante por k.

Combinação

Somar a uma linha múltiplo de outra não altera o determinante.

Produto e transposta

det(AB)=det A·det B; det(Aᵀ)=det A

Triangulares

Determinante de triangular é o produto da diagonal.

Pegadinhas e condições

  • Fator k em toda a matriz n×n produz kⁿ no determinante.
  • Operações diferentes de linha têm efeitos diferentes.

Questões resolvidas

1. Escala total

Se A é 3×3 e det A=2, calcule det(4A).

Escalar toda a matriz afeta três linhas.

det(4A)=4³·2=128.

2. Produto

det A=−2 e det B=5. Calcule det(AB).

Multiplique determinantes.

Resultado −10.

Exercícios

Fácil

1. Trocar duas linhas faz o determinante:

A) não mudarB) trocar sinalC) dobrarD) zerar sempre
Fácil

2. Somar 3L₁ a L₂:

A) não altera detB) triplicaC) zeraD) troca sinal
Médio

3. Se det A=3 e det B=4, det(AB)=

A) 7B) 12C) 1D) 64
Médio

4. det(Aᵀ)=

A) −det AB) 0C) det AD) (det A)²
Difícil

5. Se A é 2×2 e det A=5, det(3A)=

A) 15B) 30C) 45D) 9

Gabarito comentado:

1-B: Multiplica por −1.

2-A: Adição de múltiplo preserva.

3-B: Produto dos determinantes.

4-C: Transposição preserva.

5-C: 3²·5=45.

Resumo final

  • Troca de linhas troca sinal.
  • Escala de linha escala o determinante.
  • Adição de múltiplo não altera.
  • det(AB)=detA·detB.