Definição e elementos
Parábola é o lugar dos pontos P equidistantes de um foco F e de uma reta diretriz. O vértice V está sobre o eixo de simetria, no ponto médio entre F e o pé da perpendicular de F à diretriz.
O parâmetro p≠0 é orientado. As distâncias do vértice ao foco e à diretriz valem |p|.
Formas canônicas e orientação
horizontal: (y−k)²=4p(x−h)
| Eixo | Sinal | Abertura |
|---|---|---|
| vertical | p>0 | para cima |
| vertical | p<0 | para baixo |
| horizontal | p>0 | para a direita |
| horizontal | p<0 | para a esquerda |
Coordenadas dos elementos
Vertical: V=(h,k), F=(h,k+p), diretriz y=k−p e eixo x=h.
Horizontal: V=(h,k), F=(h+p,k), diretriz x=h−p e eixo y=k.
A diretriz é uma reta, não um ponto. O sinal de p desloca foco e diretriz para lados opostos do vértice.
Lado reto
É a corda perpendicular ao eixo que passa pelo foco; seu comprimento é |4p|.
Vertical: extremos (h±2p,k+p). Horizontal: (h+p,k±2p). A ordem dos sinais não altera o conjunto de extremos.
Relação com a função quadrática
Para y=ax²+bx+c, com a≠0:
Todo gráfico de função quadrática real é uma parábola vertical. Parábolas horizontais são cônicas, mas não representam y como função de x em todo o seu domínio.
Completar quadrados
Exemplo 1: x²−6x−8y+1=0.
(x−3)²−9−8y+1=0 ⇒ (x−3)²=8(y+1).
V=(3,−1), p=2, F=(3,1), diretriz y=−3.
Exemplo 2: y²+4y+12x−8=0.
(y+2)²−4+12x−8=0 ⇒ (y+2)²=−12(x−1).
V=(1,−2), p=−3, F=(−2,−2), diretriz x=4.
Construção da equação
Vértice e foco determinam p pela diferença orientada. Vértice e diretriz determinam p pelo lado oposto. Com foco e diretriz, o vértice é o ponto médio, sobre o eixo, entre o foco e o pé da perpendicular.
F=(0,2), diretriz y=−2: V=(0,0), p=2 e x²=8y.
Propriedade refletora
Raios paralelos ao eixo refletem em direção ao foco; reciprocamente, raios que partem do foco refletem paralelamente ao eixo. Essa propriedade explica antenas e refletores parabólicos.
Pegadinhas e degeneração
- Confundir p com 4p.
- Trocar foco e diretriz ou o sentido do sinal.
- Usar fórmula vertical numa parábola horizontal.
- Completar quadrados sem compensar o termo adicionado.
- Se p=0, a forma canônica degenera e não descreve uma parábola.
Questões resolvidas
1. Vertical
(x−2)²=8(y+1).
V=(2,−1), p=2, F=(2,1), diretriz y=−3, lado reto 8.
2. Horizontal
(y+3)²=−12(x−1).
V=(1,−3), p=−3, F=(−2,−3), diretriz x=4, lado reto 12.
3. Função quadrática
y=2x²−8x+5.
y=2(x−2)²−3; V=(2,−3), p=1/8, F=(2,−23/8).
4. Forma geral
x²−6x−8y+1=0.
(x−3)²=8(y+1); V=(3,−1), F=(3,1), diretriz y=−3.
5. Foco e diretriz
F=(0,2), diretriz y=−2.
V=(0,0), p=2; equação x²=8y.
Exercícios
1. (x−1)²=12(y+2) abre:
2. O foco de (y+2)²=−8(x−1) é:
3. O comprimento do lado reto de x²=−16y é:
4. Um refletor tem perfil y=(x−2)²/8−3. Foco e diretriz são:
5. x²−4x−8y+12=0 tem foco:
6. (x−k)²=4p(y−1) passa por (k+4,3), e seu foco pertence a y=x. Então:
7. F=(2,−1) e diretriz x=6 determinam:
8. y=ax²+bx+c tem vértice (2,−1) e foco (2,0). O par (função, lado reto) é:
Gabarito comentado:
1-B: 4p=12, então p=3>0.
2-A: 4p=−8, p=−2; F=(1−2,−2).
3-D: |4p|=16.
4-C: a=1/8, p=2; F=(2,−1) e diretriz y=−5.
5-B: (x−2)²=8(y−1); p=2 e F=(2,3).
6-A: 16=8p dá p=2; foco (k,3) em y=x dá k=3.
7-C: V=(4,−1), p=−2; (y+1)²=−8(x−4).
8-D: p=1, a=1/4; y=(x−2)²/4−1=x²/4−x, e |4p|=4.
Resumo final
- Parábola: distância ao foco igual à distância à diretriz.
- p≠0, e |p| mede as duas distâncias a partir do vértice.
- 4p determina abertura e lado reto.
- O vértice fica entre foco e diretriz, sobre o eixo.
- Parábola horizontal não é y=f(x) globalmente.