Ideia geométrica de reta
Uma reta é determinada por dois pontos distintos ou por um ponto e uma direção. No plano cartesiano, a razão entre a variação vertical e a horizontal mede sua inclinação.
Figura ilustrativa, sem escala.
Coeficiente angular e reta vertical
m>0 indica reta crescente, m<0 decrescente e m=0 horizontal. Se x₂=x₁, a reta é vertical, tem equação x=k e seu coeficiente angular não é definido — não se diz que ele é infinito.
Ângulo de inclinação
Para retas não verticais, m=tan(θ), sendo θ medido do sentido positivo do eixo x até a reta, normalmente com 0°≤θ<180°. Se θ=0°, a reta é horizontal e m=0; se θ=90°, a reta é vertical e m não é definido.
Uma inclinação negativa corresponde a 90°<θ<180°, pois a tangente é negativa nesse intervalo.
Formas ponto-inclinação e reduzida
A primeira é ideal quando se conhecem um ponto e m. Ao desenvolver, obtém-se a forma reduzida, em que m é a inclinação e n é o intercepto em y. Ela vale somente para retas não verticais.
- m positivo ou negativo: crescente ou decrescente.
- m=0: y=n, horizontal.
- n=0: y=mx, passa pela origem.
Forma geral, pertencimento e equivalência
Se b≠0, então m=−a/b e n=−c/b. Se b=0, a reta é vertical: x=−c/a. Se a=0, é horizontal: y=−c/b.
Um ponto pertence à reta quando suas coordenadas satisfazem a equação. Em 2x−3y+6=0, (0,2) pertence, pois −6+6=0, mas (1,2) não pertence.
Multiplicar todos os coeficientes por uma constante não nula gera a mesma reta: 2x−3y+6=0 e 4x−6y+12=0 são equivalentes.
Forma segmentária
Os interceptos são (p,0) e (0,q). A forma é conveniente para construir a reta pelos eixos, mas não é diretamente adequada a retas que passam pela origem nem a retas verticais ou horizontais sem um dos dois interceptos finitos.
2x+3y=6 ⇒ x/3+y/2=1. Logo p=3 e q=2.
Forma paramétrica
x=x₀+ut, y=y₀+vt
O vetor (u,v) é diretor; variar t percorre toda a reta. Vetores diretores proporcionais não nulos representam a mesma direção. A forma abrange naturalmente retas verticais, tomando u=0.
Reta por dois pontos
Para A=(x₁,y₁) e B=(x₂,y₂) distintos, use m e ponto-inclinação quando x₁≠x₂. O determinante também trata retas verticais:
| x₁ y₁ 1 | = 0
| x₂ y₂ 1 |
Ao expandir, surge uma equação geral. Pontos coincidentes não determinam uma única reta, pois infinitas retas passam por um ponto.
Vetores diretor e normal
Em ax+by+c=0, n=(a,b) é normal à reta. Um vetor diretor possível é v=(b,−a), ou qualquer múltiplo não nulo, pois n·v=ab−ab=0.
Reciprocamente, se a reta passa por P₀ e possui normal (a,b), então a(x−x₀)+b(y−y₀)=0.
Conversão entre formas
Considere 2x−3y+6=0.
Reduzida: y=(2/3)x+2.
Interceptos: x=−3 e y=2; segmentária: x/(−3)+y/2=1.
Um ponto é (−3,0) e um diretor é (3,2); paramétrica: x=−3+3t, y=2t.
Escolha a forma que deixe visível a informação exigida: inclinação, interceptos, direção, normal ou verticalidade.
Aplicações e pegadinhas
- Não dividir por x₂−x₁ antes de verificar se ele é zero.
- Na forma geral, m=−a/b, não a/b.
- Dois pontos devem ser distintos.
- A forma segmentária exige dois interceptos não nulos.
- Colinearidade, área nula e determinante zero são condições equivalentes para três pontos.
Questões resolvidas
1. Dois pontos
A=(1,2), B=(5,10).
m=(10−2)/(5−1)=2.
y−2=2(x−1), portanto y=2x.
2. Quatro formas equivalentes
Converta 2x−3y+6=0.
Reduzida: y=(2/3)x+2.
Segmentária: x/(−3)+y/2=1.
Paramétrica: (x,y)=(−3,0)+t(3,2).
3. Caso vertical
A=(3,−2), B=(3,7).
As abscissas são iguais, então Δx=0.
A reta é x=3; m não é definido. Um diretor é (0,1).
4. Parâmetro e colinearidade
A=(0,1), B=(2,5), C=(k,9).
A reta AB tem m=2 e equação y=2x+1.
Para C pertencer: 9=2k+1.
Logo k=4.
5. Ponto, normal e distância
A reta passa por P=(1,2) e tem normal n=(3,4).
3(x−1)+4(y−2)=0.
Equação: 3x+4y−11=0.
A distância da origem é |−11|/5=11/5.
Exercícios
1. O coeficiente angular de y=−3x+2 é:
2. Sobre a reta x=4, é correto afirmar:
3. A reta por (2,−1) com m=3 é:
4. Uma avenida corta os eixos em (4,0) e (0,−2). Sua equação é:
5. A=(0,1), B=(2,5) e C=(k,9) são colineares. Então k=
6. Qual par representa 3x+4y−12=0 nas formas reduzida e paramétrica?
7. A reta por A=(1,1) e B=(5,3) forma com os eixos um triângulo. A área desse triângulo é:
8. A reta passa por P=(1,2) e é perpendicular a n=(3,4), que funciona como seu vetor normal. Sua equação e distância à origem são:
Gabarito comentado:
1-B: Em y=mx+n, m é o coeficiente de x.
2-C: x constante descreve uma reta vertical; divisão por Δx=0 não é definida.
3-A: y+1=3(x−2), logo y=3x−7.
4-D: x/4+y/(−2)=1 equivale a x−2y=4.
5-B: A reta AB é y=2x+1; substituindo C, 9=2k+1 e k=4.
6-C: Isolando y: y=−3x/4+3; (4,0) pertence e (4,−3) é diretor.
7-A: A reta é y=x/2+1/2; os interceptos são −1 e 1/2, então A=|−1·1/2|/2=1/4.
8-D: 3(x−1)+4(y−2)=0 e d(O,r)=11/√25=11/5.
Resumo final
- m=Δy/Δx=tanθ para retas não verticais.
- As formas reduzida, geral, segmentária e paramétrica destacam informações diferentes.
- n=(a,b) é normal e (b,−a) é diretor.
- Dois pontos distintos determinam uma reta; o determinante inclui o caso vertical.