Posições relativas
Paralelas distintas têm a mesma direção e nenhum ponto comum; coincidentes são a mesma reta; secantes têm um ponto comum; perpendiculares são secantes que formam 90°. Alguns textos incluem coincidentes entre paralelas em sentido amplo, mas provas objetivas costumam separar os casos.
Forma reduzida
Para y=m₁x+b₁ e y=m₂x+b₂:
- m₁=m₂ e b₁≠b₂: paralelas distintas;
- m₁=m₂ e b₁=b₂: coincidentes;
- m₁m₂=−1: perpendiculares, se ambos os coeficientes existem;
- m₁≠m₂: secantes.
O coeficiente perpendicular é o recíproco negativo.
Verticais e horizontais
x=k é vertical e não possui coeficiente angular real definido. Duas verticais distintas são paralelas; x=k e y=c são perpendiculares. Não aplique m₁m₂=−1 quando uma reta for vertical.
Forma geral
Para r:a₁x+b₁y+c₁=0 e s:a₂x+b₂y+c₂=0:
perpendicularidade: a₁a₂+b₁b₂=0
As fórmulas com vetores normais tratam coeficientes nulos sem divisão.
Coincidência
As trincas (a,b,c) devem ser proporcionais pelo mesmo λ≠0. Em vez de dividir por coeficientes que podem ser zero, procure λ tal que (a₂,b₂,c₂)=λ(a₁,b₁,c₁).
2x−4y+6=0 e x−2y+3=0 coincidem: a primeira é o dobro da segunda.
Vetores diretores e normais
Diretores não nulos proporcionais indicam paralelismo; produto escalar zero indica perpendicularidade. O vetor nulo não determina direção.
Em ax+by+c=0, n=(a,b) é normal e v=(b,−a) é diretor.
Construções por um ponto
Paralela à reta ax+by+c=0 por P=(x₀,y₀): a(x−x₀)+b(y−y₀)=0.
Perpendicular: b(x−x₀)−a(y−y₀)=0. Essas formas são seguras inclusive para verticais. Na forma reduzida, preserve m ou use −1/m quando m≠0.
Parâmetros e validação
Transforme a relação pedida em determinante zero, produto escalar zero ou proporcionalidade completa. Ao final, confira se o parâmetro não anulou simultaneamente a e b, pois isso deixaria de representar uma reta.
Pegadinhas
- Confundir paralelas distintas e coincidentes.
- Comparar apenas a e b para coincidência.
- Usar recíproco sem trocar o sinal.
- Aplicar regra de inclinações a vertical.
- Usar vetor diretor nulo.
Questões resolvidas
1. Paralelas
y=2x+1 e y=2x−3.
Mesmo m, interceptos diferentes: paralelas distintas.
2. Coincidentes
2x−3y+1=0 e 4x−6y+2=0.
A segunda é o dobro da primeira.
3. Perpendicular por P
Por (1,2), perpendicular a 2x−y+3=0.
m=2, então m⊥=−1/2: x+2y−5=0.
4. Vertical e horizontal
x=3 e y=−2.
São perpendiculares e se cruzam em (3,−2).
5. Parâmetro
kx+2y−1=0 e 4x−ky+3=0 são perpendiculares.
(k,2)·(4,−k)=2k=0; k=0.
Exercícios
1. y=3x+1 e y=3x−4 são:
2. x=2 e y=−3 são:
3. 2x−3y+1=0 e 3x+2y−4=0 são:
4. 2x−4y+6=0 e x−2y+3=0 são:
5. A via paralela a 3x+y−4=0 por (1,−2) é:
6. A reta por (2,1) perpendicular a 4x−2y+5=0 é:
7. (k−1)x+2y−3=0 coincide com 2x+4y−6=0 quando:
8. kx+y−1=0 é perpendicular a 2x−ky+3=0. k e a interseção são:
Gabarito comentado:
1-B: Mesmo m, interceptos diferentes.
2-D: Vertical e horizontal formam 90°.
3-A: (2,−3)·(3,2)=0.
4-C: A primeira é duas vezes a segunda.
5-B: 3−2+c=0 dá c=−1.
6-A: (4,−2)·(1,2)=0 e o ponto satisfaz a equação.
7-C: Dividindo a segunda por 2, k−1=1.
8-D: (k,1)·(2,−k)=k=0; y=1 e x=−3/2.
Resumo final
- Inclinações iguais exigem comparar interceptos.
- Forma geral inclui verticais.
- Proporcionalidade indica paralelismo; produto zero, perpendicularidade.
- Coincidência exige os três coeficientes proporcionais.