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Área no plano cartesiano

Determinantes e orientação

Calcule áreas algébricas e use determinantes para testar colinearidade.

Área por base e altura

A=base·altura/2

No plano cartesiano, uma base horizontal ou vertical facilita a leitura da altura perpendicular. Para base inclinada, pode-se calcular comprimento e distância à reta, mas o determinante costuma ser mais rápido.

Triângulo no plano com base e alturaPlano cartesiano com triângulo de vértices A igual a um vírgula um, B igual a seis vírgula um e C igual a quatro vírgula cinco. A base AB mede cinco e a altura perpendicular mede quatro.A=(1,1)B=(6,1)C=(4,5)base=5altura=4
A base AB é horizontal; a altura é a diferença vertical entre C e a reta y=1.

Determinante de três pontos

A=(1/2)·|xA(yB−yC)+xB(yC−yA)+xC(yA−yB)|

Equivalentemente, A=(1/2)|det| para a matriz:

| xA   yA   1 |
| xB   yB   1 |
| xC   yC   1 |

O determinante combina base e altura de maneira algébrica e vale para qualquer orientação do triângulo.

Área orientada

D=xA(yB−yC)+xB(yC−yA)+xC(yA−yB)

Na convenção usada, D>0 indica ordem anti-horária, D<0 ordem horária e D=0 colinearidade. A área geométrica é A=|D|/2.

Orientações positiva e negativaÀ esquerda, triângulo percorrido A B C no sentido anti-horário com D positivo. À direita, o mesmo triângulo percorrido A C B no sentido horário com D negativo. Setas e sinais distinguem os sentidos.ABCA→B→C: D>0ABCA→C→B: D<0
Inverter dois vértices troca o sinal de D, mas o módulo preserva a mesma área geométrica.

Colinearidade

Três pontos são colineares se, e somente se, o determinante é zero. Também se pode comparar inclinações, verificar uma equação de reta ou testar vetores proporcionais.

O determinante é conveniente em retas verticais, nas quais a inclinação Δy/Δx envolveria divisão por zero.

Três pontos colinearesReta crescente contendo os pontos A igual a um vírgula dois, B igual a três vírgula seis e C igual a cinco vírgula dez. A área do triângulo degenerado é zero.A=(1,2)B=(3,6)C=(5,10)D=0 e A=0
Os três pontos satisfazem y=2x; não formam triângulo não degenerado.

Fórmula do cadarço

A=(1/2)·|Σ(xiyi+1−yixi+1)|

Feche o ciclo com (xn+1,yn+1)=(x1,y1). Para A=(0,0), B=(4,0), C=(5,3), D=(0,3):

Tabela do cadarço com repetição do primeiro vértice
Vérticexyxiyi+1yixi+1
A0000
B40120
C53150
D0300
A repetido00——

A=|27−0|/2=13,5.

Ordem dos vértices

Liste os vértices seguindo o contorno, horário ou anti-horário. O módulo dá a mesma área nos dois sentidos. Alternar lados pode criar cruzamento e cancelamento indevido.

Ordem correta e ordem cruzadaÀ esquerda, quadrilátero A B C D percorrido ao redor do contorno. À direita, os mesmos pontos na ordem A C B D formam um laço cruzado, inadequado para obter a área geométrica total diretamente.ABCDA→B→C→D: contornoABCDA→C→B→D: cruzamento
Em polígono simples, siga a borda sem saltar para vértice não adjacente.

Polígonos convexos

O cadarço funciona diretamente quando os vértices convexos estão em ordem. Outra estratégia é decompor o polígono em triângulos sem sobreposição e somar suas áreas.

Se todos os giros ao percorrer o contorno mantêm o mesmo sentido, a orientação é consistente.

Polígonos côncavos simples

O cadarço também funciona em polígonos simples côncavos, desde que os vértices sigam o contorno. Pode-se conferir decompondo em triângulos e subtraindo a reentrância.

Em polígonos auto-intersectantes, o resultado pode ser área algébrica com cancelamentos e não a soma das regiões geométricas.

Coordenada desconhecida

Substitua a coordenada com parâmetro na expressão orientada e use:

|expressão em k|=2A

Resolva os dois casos do módulo. Por exemplo, A=(0,0), B=(4,0), C=(2,k) e área 6 fornecem |4k|=12, portanto k=3 ou k=−3. Esquecer o módulo elimina uma solução geometricamente válida.

Aplicações e pegadinhas

  • Compare determinante com base-altura para conferir o resultado.
  • Use D=0 para colinearidade, inclusive em retas verticais.
  • Ordene o contorno antes do cadarço.
  • Em côncavos simples, não atravesse a reentrância.
  • Conserve o módulo ao resolver coordenada desconhecida.
  • Áreas com baricentro: [ABG]=[BCG]=[CAG]=[ABC]/3.
  • Razões de áreas podem ser obtidas com mesma altura e bases proporcionais.

Questões resolvidas

1. Base e altura

A=(0,0), B=(6,0), C=(1,4).

Base 6 e altura 4.

Resposta: A=12.

2. Orientação

A=(0,0), B=(4,0), C=(1,3).

D=12>0.

Resposta: ordem anti-horária e área 6.

3. Cadarço

(0,0), (4,0), (5,3), (0,3).

Soma direta 27, inversa 0.

Resposta: A=13,5.

4. Côncavo

(0,0), (4,0), (4,4), (2,2), (0,4).

Área do quadrado 16 menos reentrância triangular de base 4 e altura 2: 4.

Resposta: 12.

5. Duas soluções

A=(0,0), B=(4,0), C=(2,k), área 6.

|4k|/2=6, então |k|=3.

Resposta: k=3 ou k=−3.

Exercícios e resumo

Fácil

1. A área de (0,0), (6,0), (0,4) é:

A) 10B) 12C) 24D) 48
Fácil

2. Na convenção adotada, D>0 indica percurso:

A) anti-horárioB) horárioC) colinearD) auto-intersectante
Médio

3. (0,0), (2,3) e (4,k) são colineares quando:

A) k=3B) k=4C) k=6D) k=8
Médio

4. A=(0,0), B=(4,0), C=(2,k) formam área 6. Os valores de k são:

A) apenas 3B) apenas −3C) 0 e 3D) −3 e 3
Médio

5. A área do quadrilátero (0,0), (4,0), (5,3), (0,3), em ordem, é:

A) 12B) 13C) 13,5D) 27
Difícil

6. O polígono côncavo (0,0), (4,0), (4,4), (2,2), (0,4), em ordem, tem área:

A) 8B) 12C) 14D) 16
Difícil

7. A=(0,0), B=(6,0), C=(k,4), D=(0,4), em ordem anti-horária, formam área 20. Então k vale:

A) 4B) 6C) 8D) 10
Difícil

8. A=(0,0), B=(6,0), C=(0,9) e G é o baricentro. Para o triângulo BCG, temos:

A) D=−18 e área 18B) D=9 e área 9C) D=18 e área 18D) D=18, área 9 e orientação anti-horária

Gabarito comentado:

1-B: base 6 e altura 4 dão 6·4/2=12.

2-A: D positivo corresponde à ordem anti-horária escolhida.

3-C: D=2k−12; colinearidade exige k=6.

4-D: |4k|/2=6 dá |k|=3, preservando duas soluções.

5-C: pelo cadarço, A=|27|/2=13,5.

6-B: quadrado de área 16 menos a reentrância triangular de área 4.

7-A: o cadarço fornece A=(24+4k)/2=12+2k; igualando a 20, k=4.

8-D: G=(2,3). Para B,C,G, D=18>0, logo a área é 9 e a orientação é anti-horária.

Resumo final

  • A área triangular é metade do módulo do determinante.
  • O sinal de D registra orientação e D=0 caracteriza colinearidade.
  • O cadarço exige vértices em ordem ao redor do contorno.
  • Funciona em polígonos simples convexos e côncavos.
  • Coordenadas desconhecidas com área conhecida podem gerar duas soluções pelo módulo.