Menor distância e perpendicularidade
Entre todos os segmentos que ligam um ponto externo P a uma reta r, o menor é perpendicular à reta. Seu encontro com r é o pé da perpendicular H, e o comprimento PH é d(P,r).
Figura ilustrativa, sem escala.
Forma geral da reta
Antes de aplicar a fórmula, escreva a reta como ax+by+c=0, com (a,b)≠(0,0). Os coeficientes a e b não podem ser simultaneamente nulos.
y=2x+3 ⇔ 2x−y+3=0. Assim, a=2, b=−1 e c=3.
Multiplicar toda a equação por uma constante não nula não muda a reta nem a distância, pois numerador e denominador recebem o mesmo fator em módulo.
Fórmula da distância
Para P=(x₀,y₀) e r:ax+by+c=0:
O numerador é o valor algébrico F(P)=ax₀+by₀+c, relacionado ao semiplano de P. O módulo garante resultado não negativo e √(a²+b²) normaliza o vetor normal n=(a,b).
Dedução por projeção sobre o vetor normal
Escolha Q=(x₁,y₁) pertencente a r. O vetor QP=(x₀−x₁,y₀−y₁) possui uma componente na direção normal n=(a,b). O módulo dessa projeção é a distância:
Como Q pertence à reta, ax₁+by₁+c=0. Logo QP·n=a(x₀−x₁)+b(y₀−y₁)=ax₀+by₀+c. Além disso, ‖n‖=√(a²+b²), o que produz a fórmula.
Vetor normal e direção da reta
O vetor n=(a,b) é perpendicular à reta ax+by+c=0. Um vetor diretor possível é v=(b,−a), pois n·v=ab−ab=0.
Essa leitura explica por que retas paralelas podem ser escritas com os mesmos coeficientes a e b: elas compartilham a mesma direção normal, mudando apenas c.
Pé da perpendicular
Defina S=ax₀+by₀+c. O ponto mais próximo de P na reta é:
Ao substituir H na equação, o resultado é zero; além disso, PH é paralelo a (a,b), portanto perpendicular à reta, e PH=d(P,r).
Para P=(0,0) e r:3x+4y−10=0, S=−10.
H=(0−3(−10)/25, 0−4(−10)/25)=(6/5,8/5).
H pertence a r e PH=√[(6/5)²+(8/5)²]=2.
Distância entre retas paralelas
Para r₁:ax+by+c₁=0 e r₂:ax+by+c₂=0, com os coeficientes de x e y exatamente iguais:
Se as equações forem proporcionais, normalize uma delas antes. Exemplo: 4x−2y−10=0 deve ser dividida por 2 para comparar com 2x−y+1=0.
Não use essa fórmula para retas concorrentes: como elas se cruzam, a distância mínima global entre elas é zero.
Paralelas a uma distância determinada
As duas retas paralelas a ax+by+c=0 situadas à distância d são:
Por exemplo, as paralelas a x−2y+3=0 a distância 2 são x−2y+3±2√5=0. Os sinais representam os dois lados da reta original.
Semiplanos e sinal algébrico
Defina F(x,y)=ax+by+c. Para pontos P e Q: F(P)F(Q)>0 indica o mesmo semiplano; F(P)F(Q)<0, semiplanos opostos; e F(P)F(Q)=0 significa que pelo menos um pertence à reta.
Os sinais dependem da forma escolhida para F, mas a relação “mesmo lado ou lados opostos” não muda.
Aplicações combinadas
- Altura e área: a altura relativa a um lado é a distância do vértice oposto à reta suporte; A=base·altura/2.
- Tangência: uma reta é tangente à circunferência de centro C e raio R quando d(C,r)=R.
- Largura de faixa: é a distância entre suas bordas paralelas normalizadas.
- Reta média: entre ax+by+c₁=0 e ax+by+c₂=0, uma reta equidistante é ax+by+(c₁+c₂)/2=0.
Questões resolvidas
1. Ponto e reta
P=(2,1), r:3x+4y−20=0.
d=|3·2+4·1−20|/√(9+16).
d=|−10|/5=2.
2. Converter antes de calcular
Distância da origem a y=2x+3.
Forma geral: 2x−y+3=0.
d=|3|/√(2²+(−1)²)=3/√5=3√5/5.
3. Pé da perpendicular
P=(0,0), r:3x+4y−10=0.
S=−10 e a²+b²=25.
H=(6/5,8/5).
3(6/5)+4(8/5)−10=0 e PH=2.
4. Paralelas proporcionais
r₁:2x−y+1=0 e r₂:4x−2y−10=0.
Divida r₂ por 2: 2x−y−5=0.
d=|−5−1|/√5=6/√5=6√5/5.
5. Altura e área
A=(0,0), B=(6,0), C=(2,4).
A reta AB é y=0; a distância de C a ela é 4.
AB=6 e h=4.
Área=6·4/2=12 unidades².
Exercícios
1. A menor distância de um ponto externo a uma reta é medida por um segmento:
2. A distância da origem à reta 3x+4y−10=0 é:
3. A distância da origem à reta y=2x+1 é:
4. Para r:x−y=0, P=(2,0) e Q=(0,3) estão:
5. As bordas paralelas de uma faixa são 3x−4y+2=0 e 6x−8y−16=0. Sua largura é:
6. O pé da perpendicular traçada da origem à reta 3x+4y−10=0 é:
7. As duas retas paralelas a x−2y+3=0 e distantes 2 unidades dela são:
8. A circunferência tem centro C=(1,2), raio 3, e rₘ:4x−3y+m=0 é tangente a ela. Os valores de m são:
Gabarito comentado:
1-B: A projeção ortogonal produz o único segmento mínimo.
2-A: |−10|/√(9+16)=10/5=2.
3-C: y=2x+1 equivale a 2x−y+1=0; a distância é 1/√5.
4-D: F(P)=2 e F(Q)=−3; o produto é negativo.
5-B: Normalize a segunda reta para 3x−4y−8=0; a largura é |−8−2|/5=2.
6-C: S=−10; aplicando a fórmula do pé, H=(6/5,8/5).
7-A: Use c±d√(a²+b²), com d=2 e √(1²+(−2)²)=√5.
8-D: Tangência exige |4−6+m|/5=3; então |m−2|=15 e m=17 ou m=−13.
Resumo final
- Escreva a reta na forma ax+by+c=0.
- O módulo e a normalização por √(a²+b²) tornam a distância geométrica.
- O pé H pertence à reta e PH é perpendicular a ela.
- Normalize equações proporcionais antes de comparar paralelas.
- O sinal de F classifica semiplanos; tangência ocorre quando d(C,r)=R.