Representações de uma função
Uma função pode aparecer como fórmula, tabela, diagrama, conjunto de pares, descrição verbal ou gráfico. Todas as formas devem representar a mesma associação entre entrada e saída.
f(x) = 2x − 1.
Para x = 0, 1 e 2, obtemos −1, 1 e 3.
Os pontos do gráfico são (0,−1), (1,1) e (2,3).
Teste da reta vertical
Um gráfico representa y como função de x quando nenhuma reta vertical o intercepta em mais de um ponto.
Uma reta não vertical passa no teste.
Uma parábola com eixo vertical passa no teste.
Uma circunferência não passa: certos valores de x possuem dois valores de y.
Interseções e zeros
O ponto em que o gráfico corta o eixo y é obtido por f(0). Os zeros são as abscissas dos pontos em que o gráfico corta ou toca o eixo x.
eixo x: f(x) = 0
Estudo do sinal
O gráfico está acima do eixo x quando f(x) > 0 e abaixo quando f(x) < 0. Nos zeros, f(x) = 0.
Positiva: ordenada y acima de zero.
Negativa: ordenada y abaixo de zero.
Nula: ponto sobre o eixo x.
Crescimento, decrescimento e constância
Uma função é crescente em um intervalo quando seus valores aumentam à medida que x aumenta. Ela é decrescente quando os valores diminuem e constante quando permanecem iguais.
A análise deve ser feita por intervalos: uma mesma função pode crescer em uma região e decrescer em outra.
Máximos, mínimos e imagem
Máximos e mínimos são valores extremos locais ou globais. Eles ajudam a determinar a imagem e aparecem em problemas de otimização.
Se o menor valor de uma curva é −3 e ela cresce sem limite, então Im(f) = [−3,+∞).
O ponto onde y = −3 é um ponto de mínimo global.
Transformações gráficas
y = f(x) + k: desloca o gráfico k unidades na vertical.
y = f(x − h): desloca h unidades para a direita.
y = −f(x): reflete no eixo x.
y = f(−x): reflete no eixo y.
y = |f(x)|: reflete para cima as partes negativas.
Pegadinhas
- Trocar as coordenadas de um ponto (x,y).
- Confundir zero da função com f(0).
- Analisar crescimento observando da direita para a esquerda.
- Achar que toda curva é gráfico de função.
- Deslocar f(x−h) para a esquerda em vez de para a direita.
- Confundir máximo local com máximo global.
Questões resolvidas
1. Leitura de ponto
O ponto (3,−2) pertence ao gráfico de f. O que isso significa?
A primeira coordenada é a entrada.
A segunda é a saída.
Logo, f(3) = −2.
2. Zero e intercepto
Para f(x)=2x−6, determine as interseções com os eixos.
No eixo y: f(0)=−6, então (0,−6).
No eixo x: 2x−6=0, então x=3.
A outra interseção é (3,0).
3. Translação
Como obter o gráfico de g(x)=(x−4)²+1 a partir de y=x²?
x−4 desloca a parábola 4 unidades para a direita.
+1 desloca 1 unidade para cima.
O vértice passa de (0,0) para (4,1).
Exercícios
1. Se (2,5) pertence ao gráfico de f, então:
2. Os zeros aparecem onde o gráfico encontra:
3. Quando o gráfico está abaixo do eixo x:
4. g(x)=f(x)+3 desloca o gráfico:
5. g(x)=f(x−2) desloca o gráfico:
6. Uma circunferência inteira não representa y=f(x) porque:
Gabarito comentado:
1-B: No par (x,y), y=f(x).
2-A: Nos zeros, y=f(x)=0.
3-C: A ordenada é negativa abaixo do eixo x.
4-B: A soma externa altera verticalmente os valores de y.
5-C: A substituição x por x−2 desloca 2 unidades à direita.
6-B: Algumas retas verticais a cortam em dois pontos.
Resumo final
- Fórmulas, tabelas, pares e gráficos podem representar a mesma função.
- O teste vertical decide se uma curva representa y como função de x.
- f(0) fornece a interseção com o eixo y.
- Zeros satisfazem f(x)=0.
- Sinal, crescimento e extremos são lidos por intervalos.
- Transformações permitem deslocar e refletir gráficos conhecidos.