Conceito e forma geral
Função afim é toda função que pode ser escrita como f(x)=ax+b, com a e b reais. Seu gráfico é uma reta.
Se a≠0, temos uma função de primeiro grau.
Se b=0, f(x)=ax é chamada função linear.
Se a=0, f(x)=b é uma função constante.
Coeficientes angular e linear
O coeficiente a é a taxa de variação: indica quanto f(x) muda quando x aumenta uma unidade. O coeficiente b é o valor inicial f(0) e determina o corte no eixo y.
b=f(0)
Construção do gráfico
Dois pontos distintos determinam uma reta. Podemos calcular uma pequena tabela ou usar diretamente os interceptos.
f(x)=2x−4.
f(0)=−4: ponto (0,−4).
f(2)=0: ponto (2,0).
A reta passa por esses dois pontos.
Zero e interseções
O zero é o valor de x para o qual f(x)=0. Quando a≠0:
O ponto (−b/a,0) é a interseção com o eixo x; (0,b) é a interseção com o eixo y.
Crescimento e estudo do sinal
a>0: função crescente.
a<0: função decrescente.
a=0: função constante.
Para estudar o sinal quando a≠0, marque o zero. Se a>0, a função é negativa antes do zero e positiva depois; se a<0, ocorre o contrário.
Encontrando a lei da função
Com dois pontos, calculamos a taxa a e depois usamos um ponto para encontrar b.
A reta passa por (1,3) e (4,9).
a=(9−3)/(4−1)=2.
3=2·1+b, então b=1.
f(x)=2x+1.
Equações e inequações afins
Equações pedem o ponto em que a função assume certo valor. Inequações pedem intervalos em que o gráfico está acima ou abaixo de uma referência.
3x−6≤0.
3x≤6.
x≤2.
No gráfico, é a região em que a reta está sobre ou abaixo do eixo x.
Aplicações e modelagem
Funções afins modelam situações com taxa constante e valor inicial.
Uma corrida cobra R$ 7 fixos e R$ 2,50 por quilômetro.
C(x)=2,5x+7.
Para 10 km, C(10)=32 reais.
Tarifas, salários e custos fixos.
Movimento uniforme.
Conversões de escalas.
Depreciação linear.
Pegadinhas
- Confundir a com b.
- Achar que toda função afim passa pela origem.
- Esquecer o sinal negativo em x=−b/a.
- Usar dois pontos com a mesma coordenada x.
- Trocar Δx por Δy na taxa.
- Interpretar uma variação não constante como função afim.
Questões resolvidas
1. Zero e sinal
Analise f(x)=−2x+6.
Zero: −2x+6=0, então x=3.
Como a<0, a função é decrescente.
f(x)>0 para x<3 e f(x)<0 para x>3.
2. Lei por dados
Uma função afim satisfaz f(0)=5 e f(3)=14.
b=f(0)=5.
a=(14−5)/(3−0)=3.
Logo, f(x)=3x+5.
3. Problema de encontro
Resolva 4x+2=2x+10.
4x−2x=10−2.
2x=8.
x=4. As duas funções têm o mesmo valor nessa entrada.
Exercícios
1. Na função f(x)=3x−2, o coeficiente angular é:
2. O gráfico de uma função afim é:
3. O zero de f(x)=2x−8 é:
4. Se a<0, a função é:
5. A reta pelos pontos (0,2) e (3,8) tem lei:
6. A solução de −3x+9>0 é:
Gabarito comentado:
1-D: O coeficiente de x é a=3.
2-A: f(x)=ax+b produz uma reta.
3-C: 2x−8=0 fornece x=4.
4-B: Coeficiente angular negativo produz reta decrescente.
5-A: a=(8−2)/3=2 e b=2.
6-B: −3x>−9 e a divisão por número negativo inverte o sinal: x<3.
Resumo final
- Função afim tem forma f(x)=ax+b.
- O gráfico é uma reta.
- a é a taxa de variação e b=f(0).
- O zero é −b/a quando a≠0.
- O sinal de a determina crescimento ou decrescimento.
- Modelos afins descrevem variações constantes com possível valor inicial.