Domínio, contradomínio e imagem
Em uma função f: A → B, o conjunto A é o domínio, B é o contradomínio e a imagem é o subconjunto de B formado pelos valores realmente atingidos.
Im(f) = {f(x) : x ∈ D(f)}
Domínio: onde x pode variar.
Contradomínio: conjunto de chegada declarado.
Imagem: valores efetivamente produzidos.
Restrições algébricas do domínio
Quando o domínio não é declarado, consideramos todos os números reais para os quais a expressão está definida.
Denominador: nunca pode ser zero.
Raiz de índice par: o radicando deve ser maior ou igual a zero.
Logaritmo: o logaritmando deve ser estritamente positivo.
f(x) = √(2x − 6).
2x − 6 ≥ 0.
x ≥ 3. Logo, D(f) = [3, +∞).
Como determinar a imagem
A imagem pode ser encontrada pela lei, pelo gráfico, por uma tabela ou pelas restrições do contexto. Em muitos casos, escrevemos y = f(x) e investigamos quais valores de y são possíveis.
f(x) = x² + 4, com x real.
Como x² ≥ 0, temos x² + 4 ≥ 4.
O valor 4 ocorre em x = 0.
Im(f) = [4, +∞).
Função injetora
Uma função é injetora quando entradas diferentes sempre produzem imagens diferentes.
No gráfico, toda reta horizontal deve cortar a curva no máximo uma vez. A função f(x) = 2x + 1 é injetora em ℝ; já f(x) = x² não é injetora em ℝ.
Sobrejetora e bijetora
Uma função é sobrejetora quando sua imagem coincide com o contradomínio. Ela é bijetora quando é simultaneamente injetora e sobrejetora.
Sobrejetora: todo elemento do contradomínio é atingido.
Bijetora: cada elemento do contradomínio corresponde a exatamente uma entrada.
Somente funções bijetoras possuem inversa definida em todo o contradomínio declarado.
Restrição de domínio e contradomínio
A classificação depende dos conjuntos escolhidos. A mesma lei pode mudar de classificação quando restringimos domínio ou contradomínio.
f(x) = x² não é injetora de ℝ em ℝ.
Restringindo o domínio a [0, +∞), ela passa a ser injetora.
Declarando f: [0, +∞) → [0, +∞), ela se torna bijetora.
Pegadinhas
- Confundir imagem com contradomínio.
- Cancelar um fator e esquecer o ponto excluído do domínio original.
- Usar radicando > 0 quando a raiz quadrada também admite zero.
- Permitir logaritmando igual a zero.
- Classificar uma função sem observar domínio e contradomínio.
- Achar que entradas diferentes não podem ter a mesma imagem em qualquer função.
Questões resolvidas
1. Domínio de uma função racional
Determine o domínio de f(x) = (x + 1)/(x − 4).
O denominador deve ser diferente de zero.
x − 4 ≠ 0, então x ≠ 4.
D(f) = ℝ {4}.
2. Domínio com raiz e fração
Determine o domínio de g(x) = √(x + 2)/(x − 1).
Pela raiz: x + 2 ≥ 0, logo x ≥ −2.
Pelo denominador: x ≠ 1.
D(g) = [−2, 1) ∪ (1, +∞).
3. Classificação
Analise f: ℝ → ℝ, f(x) = 3x − 5.
A reta de coeficiente angular não nulo é injetora.
Para qualquer y real, x = (y + 5)/3 produz f(x) = y.
A função é sobrejetora e, portanto, bijetora.
Exercícios
1. O domínio reúne:
2. O domínio de 1/(x + 2) exclui:
3. A imagem de f(x)=x², com x real, é:
4. Uma função injetora:
5. O domínio de √(5−x) é:
6. Uma função bijetora é:
Gabarito comentado:
1-A: Domínio é o conjunto das entradas para as quais a função está definida.
2-C: x + 2 não pode ser zero, logo x ≠ −2.
3-C: Todo quadrado é não negativo e o zero é atingido.
4-B: Na injetora, f(x₁)=f(x₂) implica x₁=x₂.
5-C: 5−x ≥ 0 fornece x ≤ 5.
6-C: Bijetividade combina as duas propriedades.
Resumo final
- Domínio contém as entradas permitidas.
- Imagem contém as saídas realmente atingidas.
- Denominadores não podem zerar; raízes pares exigem radicando não negativo.
- Injetoras não repetem imagem para entradas distintas.
- Sobrejetoras atingem todo o contradomínio.
- Bijetoras são injetoras e sobrejetoras e admitem função inversa.