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EstudaMath

Função quadrática

Parábolas, raízes, vértice e análise completa

Entenda de onde vêm as fórmulas, como cada coeficiente modifica o gráfico e como resolver problemas sem depender de regras decoradas.

1

Pré-requisitos

Esta aula usa ideias anteriores. Se alguma notação parecer nova, revise antes de continuar:

Plano cartesianoProdutos notáveisFatoraçãoEquações do 2º grauInequações e intervalosZero e imagem
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Definição e coeficientes

Uma função quadrática é uma função de ℝ em ℝ dada por:

f: ℝ → ℝ,   f(x)=ax²+bx+c,   com a≠0

Em outras palavras: o maior expoente de x é 2. O número a acompanha x², b acompanha x e c é o termo sem x. A condição a≠0 é indispensável: se a=0, desaparece o termo quadrático.

FunçãoabcObservação
2x²−3x+12−31Completa
−x²+4−104Sem termo em x
(3/2)x²−x3/2−10Sem termo constante

Atenção aos sinais: em g(x)=−(3/2)x²+(1/4)x−7, temos a=−3/2, b=1/4 e c=−7.

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Três formas da função

Desenvolvidaf(x)=ax²+bx+c — mostra imediatamente os coeficientes.
Fatoradaf(x)=a(x−x₁)(x−x₂) — mostra as raízes, quando elas são reais.
Canônicaf(x)=a(x−xᵥ)²+yᵥ — mostra o vértice V(xᵥ,yᵥ).

Veja as três leituras da mesma função:

x²−6x+5 = (x−1)(x−5) = (x−3)²−4

Como chegar à forma canônica

  1. Coloque a em evidência nos termos que contêm x.

    ax²+bx+c = a(x²+(b/a)x)+c

  2. Complete o quadrado: some e subtraia (b/(2a))² dentro dos parênteses.

    a[(x+b/(2a))²−b²/(4a²)]+c

  3. Distribua a e reúna os termos constantes.

    a(x+b/(2a))²−(b²−4ac)/(4a)
Forma canônica
f(x)=a(x−xᵥ)²+yᵥ,   xᵥ=−b/(2a),   yᵥ=−Δ/(4a)

Essa dedução também explica as fórmulas do vértice; elas não aparecem por acaso.

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O gráfico de referência

O gráfico de y=x² é uma parábola. Seu vértice é V(0,0), seu eixo de simetria é a reta x=0 e sua concavidade está voltada para cima.

x−2−1012
y=x²41014
Parábola y igual a x ao quadradoPlano cartesiano com escala unitária. A parábola possui vértice na origem, eixo de simetria x igual a zero e passa por menos dois quatro, menos um um, um um e dois quatro.−2−10121234xyy=x²V(0,0)eixo x=0
Entradas opostas produzem a mesma imagem: f(−x)=f(x). Isso explica a simetria.
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Papel dos coeficientes

Coeficiente a

a>0: concavidade para cima; a<0: para baixo. Quanto maior |a|, mais fechada a parábola.

Coeficiente b

Participa da posição horizontal do vértice, pois xᵥ=−b/(2a).

Coeficiente c

Como f(0)=c, o gráfico encontra o eixo y no ponto (0,c).

Comparação do coeficiente aParábolas com a igual a dois, um, meio e menos um mostram concavidade e abertura diferentes.xy02x²x²½x²−x²
O módulo de a controla a abertura; o sinal controla a concavidade.
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Raízes e discriminante

As raízes são os valores de x para os quais f(x)=0. No gráfico, são os encontros da parábola com o eixo x.

Dedução da fórmula de Bhaskara

  1. Partimos de ax²+bx+c=0 e multiplicamos por 4a.

    4a²x²+4abx+4ac=0

  2. Isolamos 4ac e somamos b² aos dois lados.

    4a²x²+4abx+b²=b²−4ac

  3. O primeiro membro é um quadrado perfeito; chamamos o segundo de Δ.

    (2ax+b)²=Δ,   Δ=b²−4ac

  4. Se Δ≥0, extraímos a raiz, preservando as duas possibilidades. Quando Δ<0, não existem raízes reais.

    2ax+b=±√Δ

  5. Isolamos x; a divisão é válida porque a≠0.

    x=(−b±√Δ)/(2a)
Fórmula das raízes
x₁,₂ = (−b ± √Δ)/(2a),   Δ=b²−4ac
Δ>0

Duas raízes reais distintas.

Δ=0

Uma raiz real dupla; a parábola toca o eixo x.

Δ<0

Nenhuma raiz real; não há encontro com o eixo x.

Três situações do discriminanteTrês parábolas voltadas para cima: a primeira corta o eixo x duas vezes, a segunda toca uma vez e a terceira não o encontra.xyΔ>0: duas raízesxyΔ=0: raiz duplaxyΔ<0: nenhuma raiz real
O discriminante determina quantas interseções reais existem com o eixo x — não quantos pontos a parábola possui.
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Vértice e eixo de simetria

Na forma canônica, o termo (x−xᵥ)² é mínimo quando vale zero. Portanto, isso ocorre em x=xᵥ e a saída é yᵥ.

V(xᵥ,yᵥ),   xᵥ=−b/(2a),   yᵥ=f(xᵥ)=−Δ/(4a)

Quando existem duas raízes reais, o eixo passa exatamente no meio delas:

xᵥ=(x₁+x₂)/2

Se a>0, o vértice é ponto de mínimo; se a<0, é ponto de máximo. O eixo de simetria é a reta vertical x=xᵥ.

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Construção do gráfico

  1. Identifique a, b e c.
  2. Determine a concavidade pelo sinal de a.
  3. Calcule Δ.
  4. Encontre as raízes reais, se existirem.
  5. Calcule o vértice.
  6. Marque o ponto (0,c).
  7. Trace o eixo x=xᵥ.
  8. Use pontos simétricos em torno do eixo.
  9. Esboce a parábola respeitando a abertura.

Exemplo completo com Δ>0

Para f(x)=x²−4x+3: a=1, b=−4 e c=3; a concavidade é para cima; Δ=16−12=4; as raízes são 1 e 3; xᵥ=2 e yᵥ=−1; o intercepto no eixo y é (0,3). O ponto (4,3) é simétrico a (0,3).

Construção da parábola x ao quadrado menos quatro x mais trêsParábola voltada para cima, com raízes um e três, vértice dois menos um, intercepto zero três e eixo de simetria x igual a dois.xy(1,0)(3,0)V(2,−1)(0,3)(4,3)x=2
Os pares (0,3) e (4,3) confirmam a simetria em relação a x=2.

Exemplo completo com Δ<0

Para g(x)=x²−2x+2: a=1, b=−2, c=2; Δ=4−8=−4, portanto não há raízes reais. O vértice é V(1,1), o ponto no eixo y é (0,2) e seu simétrico é (2,2). Como o mínimo vale 1, a parábola permanece acima do eixo x.

Construção da parábola x ao quadrado menos dois x mais doisParábola para cima sem raízes reais, vértice um um, intercepto zero dois e eixo de simetria x igual a um.xyV(1,1)(0,2)(2,2)x=1
Sem raízes reais: o gráfico inteiro fica acima do eixo x.
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Seis casos possíveis

As figuras combinam o sinal de a com o sinal de Δ. O ponto laranja é o vértice; os verdes são as raízes reais.

Parábola para cima com duas raízesParábola voltada para cima, vértice abaixo do eixo x e duas interseções reais.x
a>0 e Δ>0
Parábola para cima com raiz duplaParábola voltada para cima cujo vértice toca o eixo x.x
a>0 e Δ=0
Parábola para cima sem raízesParábola voltada para cima e inteiramente acima do eixo x.x
a>0 e Δ<0
Parábola para baixo com duas raízesParábola voltada para baixo, vértice acima do eixo x e duas interseções reais.x
a<0 e Δ>0
Parábola para baixo com raiz duplaParábola voltada para baixo cujo vértice toca o eixo x.x
a<0 e Δ=0
Parábola para baixo sem raízesParábola voltada para baixo e inteiramente abaixo do eixo x.x
a<0 e Δ<0
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Domínio, imagem e variação

Para f:ℝ→ℝ, o domínio é D(f)=ℝ. A imagem reúne as saídas efetivamente produzidas e depende da altura do vértice e da concavidade.

a>0

Im(f)=[yᵥ,+∞).

a<0

Im(f)=(−∞,yᵥ].

Domínio contextual

Em aplicações, o contexto pode restringir x mesmo quando a lei aceita todo número real.

Exemplo: f(x)=−2(x−3)²+5 possui vértice V(3,5). Como a<0, o gráfico nunca ultrapassa 5; logo, Im(f)=(−∞,5].

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Máximo e mínimo

Não confunda quatro ideias próximas:

ConceitoSignificadoNo exemplo f(x)=−2(x−3)²+5
VérticePonto em que a parábola muda de direção.V(3,5)
Ponto de máximoO ponto completo do gráfico.(3,5)
Valor máximoA maior saída, isto é, a ordenada do vértice.5
ImagemConjunto de todas as saídas.(−∞,5]

Se a>0, existe mínimo yᵥ; se a<0, existe máximo yᵥ.

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Crescimento e decrescimento

O eixo x=xᵥ separa os dois ramos. Incluímos xᵥ nos intervalos porque ali a função atinge o extremo.

(−∞,xᵥ][xᵥ,+∞)
a>0Decrescente até o mínimoCrescente depois do mínimo
a<0Crescente até o máximoDecrescente depois do máximo
Crescimento da parábola voltada para cimaSetas mostram que a função decresce até o vértice mínimo e cresce depois dele.
a>0: decresce → mínimo → cresce
Crescimento da parábola voltada para baixoSetas mostram que a função cresce até o vértice máximo e decresce depois dele.
a<0: cresce → máximo → decresce

Em x²−6x+5, xᵥ=3: a função decresce em (−∞,3] e cresce em [3,+∞).

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Estudo completo do sinal

O sinal indica se o gráfico está acima, sobre ou abaixo do eixo x.

CasoAntes de x₁Em x₁Entre as raízesEm x₂Depois de x₂
a>0, Δ>0+0−0+
a<0, Δ>0−0+0−
a>0, Δ=0+0 apenas na raiz dupla+
a<0, Δ=0−0 apenas na raiz dupla−
a>0, Δ<0sempre positiva
a<0, Δ<0sempre negativa

Diagrama na reta real

Para f(x)=x²−5x+6=(x−2)(x−3):

Com Δ>0, o sinal é igual ao de a fora das raízes e oposto entre elas. Com Δ=0, só há mudança para zero no ponto de tangência. Com Δ<0, o sinal nunca muda.

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Inequações quadráticas

A solução é o conjunto de valores de x para os quais o gráfico satisfaz o sinal pedido.

Exemplo: x²−5x+6≤0

  1. Fatore e encontre os zeros.

    (x−2)(x−3)=0 ⇒ x=2 ou x=3

  2. Como a>0, a parábola fica abaixo do eixo entre as raízes.

    f(x)<0 para 2<x<3

  3. O sinal ≤ inclui os pontos onde a expressão vale zero.

    S=[2,3]
(x−2)²>0

S=ℝ\{2}.

x²+1<0

S=∅.

x²+1≥0

S=ℝ.

Produto e quociente

Em (x²−1)(x−2)>0, ordene −1,1,2 e analise cada intervalo: S=(−1,1)∪(2,+∞).

Em (x²−4)/(x−1)≥0, os pontos críticos são −2,1,2. O valor 1 é proibido porque zera o denominador. Logo, S=[−2,1)∪[2,+∞).

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Relações entre as raízes

Dedução das relações de Viète

  1. Se x₁ e x₂ são raízes, escreva a forma fatorada.

    f(x)=a(x−x₁)(x−x₂)

  2. Desenvolva.

    f(x)=ax²−a(x₁+x₂)x+ax₁x₂

  3. Compare com ax²+bx+c.

    −a(x₁+x₂)=b e ax₁x₂=c
Viète
x₁+x₂=−b/a   e   x₁x₂=c/a

Soma e produto

Em 2x²−7x+3, S=7/2 e P=3/2, sem calcular as raízes.

Construir pelas raízes

Raízes 2 e −5 e a=3: f(x)=3(x−2)(x+5)=3x²+9x−30.

Expressão simétrica

x₁²+x₂²=S²−2P. No primeiro exemplo: 49/4−3=37/4.

Raízes recíprocas

Para raízes não nulas serem recíprocas, x₁x₂=1. Como P=c/a, a condição é c=a. Exemplo: 2x²−5x+2=0 possui produto 1 e raízes 2 e 1/2.

Transformação das raízes

Se as raízes originais têm soma S e produto P, então:

Novas raízesNova somaNovo produtoEquação mônica
x₁+k, x₂+kS+2kP+kS+k²t²−(S+2k)t+(P+kS+k²)=0
1/x₁, 1/x₂S/P1/PPt²−St+1=0
x₁², x₂²S²−2PP²t²−(S²−2P)t+P²=0

Função determinada por três pontos

Se a parábola passa por (−1,6), (0,1) e (2,3), substituímos em y=ax²+bx+c. De (0,1), c=1. Os demais pontos dão a−b=5 e 4a+2b=2. Resolvendo o sistema, a=2 e b=−3; logo, f(x)=2x²−3x+1.

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Problemas com parâmetros

Uma condição sobre m ou k geralmente produz várias exigências simultâneas. Verifique primeiro se o coeficiente de x² é diferente de zero.

Objetivo para Ax²+Bx+CCondições
Ser realmente quadráticaA≠0
Duas raízes reais distintasA≠0 e Δ>0
Raiz duplaA≠0 e Δ=0
Nenhuma raiz realA≠0 e Δ<0
Positiva para todo realA>0 e Δ<0
Não negativa para todo realA>0 e Δ≤0
Negativa para todo realA<0 e Δ<0
Não positiva para todo realA<0 e Δ≤0
Exemplo 1 — a expressão ainda é quadrática?

Em (m−2)x²+3x−1, exigimos m−2≠0. Portanto, m≠2.

Exemplo 2 — duas raízes distintas, dupla ou nenhuma

Em x²−2mx+m+2=0, Δ=4(m−2)(m+1).

  • Duas distintas: m<−1 ou m>2.
  • Dupla: m=−1 ou m=2.
  • Nenhuma real: −1<m<2.
Exemplo 3 — valor mínimo prescrito

f(x)=x²−2mx+m²−4 tem forma (x−m)²−4. Seu mínimo é −4 para qualquer m real, atingido em x=m.

Exemplo 4 — positiva ou negativa para todo real

mx²−2x+m é positiva para todo real quando m>0 e 4−4m²<0; logo, m>1. Já −mx²+2x−m é negativa para todo real sob a mesma condição m>1.

Exemplo 5 — radical definido para todo real

Para √(mx²+2x+m) existir para todo x real, o radicando deve ser não negativo: m>0 e Δ≤0. Assim, 4−4m²≤0 e m≥1.

Exemplo 6 — inequação válida para todo real

kx²−4x+k+3≥0 para todo x exige k>0 e Δ≤0. Como Δ=16−4k(k+3)≤0, obtemos k²+3k−4≥0, isto é, k≤−4 ou k≥1. Com k>0, resta k≥1.

Não pare em Δ: combine o discriminante com A≠0, concavidade e quaisquer restrições do enunciado.

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Posição e sinais das raízes

SituaçãoCondições necessárias e suficientes
Duas raízes positivasΔ≥0, S=−b/a>0 e P=c/a>0
Duas raízes negativasΔ≥0, S<0 e P>0
Raízes de sinais contráriosP<0
α estritamente entre as raízesΔ>0 e a·f(α)<0
Ambas maiores que αΔ≥0, xᵥ>α e a·f(α)>0
Ambas menores que αΔ≥0, xᵥ<α e a·f(α)>0
Ambas no intervalo (α,β)Δ≥0, α<xᵥ<β, a·f(α)>0 e a·f(β)>0

Justificativa: a·f(α)<0 significa que f(α) tem sinal oposto a a; isso só acontece entre duas raízes. Para colocar ambas as raízes de um mesmo lado, combinamos o sinal externo com a posição do eixo de simetria.

Exemplo sem calcular as raízes

Em x²−7x+10=0, Δ=9≥0, S=7>0 e P=10>0. Portanto, as duas raízes são positivas. Para verificar se ambas estão em (1,6): xᵥ=7/2 pertence ao intervalo, f(1)=4>0 e f(6)=4>0; logo, ambas estão dentro do intervalo.

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Aplicações: máximo, mínimo e modelagem

Em cada modelo, defina a variável, construa a função, restrinja o domínio, calcule o vértice, confira se ele pertence ao domínio e interprete a unidade.

1. Área máxima — retângulo cercado em três lados
  1. Variável: x é a largura, em metros.
  2. Função: o comprimento é 40−2x, então A(x)=x(40−2x)=−2x²+40x.
  3. Domínio: 0<x<20.
  4. Vértice: xᵥ=10 e A(10)=200.
  5. Verificação: 10 pertence ao domínio e 2·10+20=40.
  6. Interpretação: dimensões 10 m por 20 m produzem área máxima de 200 m².
Retângulo cercado em três ladosRetângulo com duas larguras x e um comprimento quarenta menos dois x; o quarto lado encosta em um muro.muro: 40−2xxxCerca usada nos três lados desenhados em azul.
2. Lucro máximo

Variável: q é a quantidade vendida. Função: L(q)=−2q²+120q−1000. Domínio: q≥0 e inteiro no contexto. Vértice: qᵥ=30, L(30)=800. Verificação: 30 é admissível. Resposta: o lucro máximo é R$ 800 ao vender 30 unidades.

3. Receita máxima

Se o preço de cada ingresso é p(x)=80−2x e x ingressos são vendidos, R(x)=x(80−2x), com 0≤x≤40. O vértice é x=20 e R(20)=800. A receita máxima é R$ 800 com 20 ingressos.

4. Trajetória e movimento vertical

A altura h(t)=−5t²+20t+1, em metros, vale para t≥0 até retornar ao solo. O vértice ocorre em t=2 s e h(2)=21 m. Como 2 está no intervalo físico do movimento, a altura máxima é 21 m após 2 s. O instante de queda é a raiz positiva de h(t)=0.

5. Otimização geométrica — produto com soma fixa

Dois segmentos positivos somam 30 cm. Se um mede x, o outro mede 30−x e P(x)=x(30−x), com 0<x<30. O vértice ocorre em x=15 e P(15)=225 cm². O produto é máximo quando os segmentos são iguais.

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Questões resolvidas

As dez resoluções usam métodos diferentes e apresentam todos os elementos de uma solução completa.

1. Básica — identificação de coeficientes
Questão
Em f(x)=−3x²+5x−2, identifique a, b e c.
Estratégia
Comparar a lei com ax²+bx+c.
Desenvolvimento
a acompanha x², b acompanha x e c é independente de x.
Justificativa
Os sinais fazem parte dos coeficientes.
Resposta final
a=−3, b=5 e c=−2.
Verificação
Reconstruindo a lei, obtemos −3x²+5x−2.
Erro frequente
Copiar a=3 e esquecer o sinal negativo.
2. Básica — fatoração
Questão
Resolva x²−7x+12=0.
Estratégia
Procurar dois números cuja soma é 7 e cujo produto é 12.
Desenvolvimento
Os números são 3 e 4; então x²−7x+12=(x−3)(x−4).
Justificativa
Um produto é zero quando pelo menos um fator é zero.
Resposta final
x=3 ou x=4.
Verificação
3²−7·3+12=0 e 4²−7·4+12=0.
Erro frequente
Usar fatores (x+3)(x+4) e inverter os sinais.
3. Intermediária — fórmula quadrática
Questão
Resolva 2x²−x−3=0.
Estratégia
Calcular Δ e aplicar a fórmula das raízes.
Desenvolvimento
Δ=(−1)²−4·2·(−3)=25; x=(1±5)/4.
Justificativa
Como a≠0 e Δ>0, existem duas raízes distintas.
Resposta final
x=3/2 ou x=−1.
Verificação
2·(3/2)²−3/2−3=0 e 2·(−1)²+1−3=0.
Erro frequente
Escrever −b=−1 em vez de −(−1)=1.
4. Intermediária — forma canônica
Questão
Escreva 2x²−8x+3 na forma canônica e encontre o vértice.
Estratégia
Completar o quadrado.
Desenvolvimento
2(x²−4x)+3=2[(x−2)²−4]+3=2(x−2)²−5.
Justificativa
A forma a(x−xᵥ)²+yᵥ evidencia o vértice.
Resposta final
f(x)=2(x−2)²−5 e V(2,−5).
Verificação
Desenvolvendo: 2x²−8x+8−5=2x²−8x+3.
Erro frequente
Esquecer de multiplicar por 2 o termo subtraído.
5. Intermediária — leitura do gráfico e imagem
Questão
Determine a imagem de f(x)=−x²+6x−5.
Estratégia
Usar concavidade e vértice.
Desenvolvimento
xᵥ=3 e yᵥ=f(3)=4. Como a<0, 4 é máximo.
Justificativa
O gráfico se estende indefinidamente para baixo.
Resposta final
Im(f)=(−∞,4].
Verificação
Na forma canônica, f(x)=−(x−3)²+4≤4.
Erro frequente
Escrever [4,+∞) ignorando a concavidade.
6. Padrão militar — inequação
Questão
Resolva x²−x−6>0.
Estratégia
Fatorar e estudar o sinal.
Desenvolvimento
(x−3)(x+2)>0; as raízes são −2 e 3. Como a>0, o sinal é positivo fora delas.
Justificativa
A desigualdade é estrita, então as raízes não entram.
Resposta final
S=(−∞,−2)∪(3,+∞).
Verificação
x=0 não pertence e produz −6; x=4 pertence e produz 6.
Erro frequente
Incluir −2 e 3 mesmo com sinal >.
7. Padrão militar — Viète
Questão
Em 2x²−7x+3=0, calcule x₁²+x₂² sem resolver a equação.
Estratégia
Usar S e P.
Desenvolvimento
S=7/2 e P=3/2; x₁²+x₂²=S²−2P=49/4−3=37/4.
Justificativa
A identidade vem de (x₁+x₂)²=x₁²+2x₁x₂+x₂².
Resposta final
37/4.
Verificação
As raízes são 3 e 1/2; 9+1/4=37/4.
Erro frequente
Usar S²−P e esquecer o fator 2.
8. Padrão militar — função por três pontos
Questão
Determine a função que passa por (−1,6), (0,1) e (2,3).
Estratégia
Montar um sistema em a, b e c.
Desenvolvimento
De (0,1), c=1. Dos outros pontos: a−b=5 e 4a+2b=2. Logo, a=2 e b=−3.
Justificativa
Três pontos com abscissas distintas determinam os três coeficientes.
Resposta final
f(x)=2x²−3x+1.
Verificação
f(−1)=6, f(0)=1 e f(2)=3.
Erro frequente
Substituir o ponto como (y,x) em vez de (x,y).
9. Avançada — parâmetro e raízes positivas
Questão
Para quais m a equação x²−(m+2)x+2m=0 possui duas raízes positivas distintas?
Estratégia
Combinar discriminante, soma e produto.
Desenvolvimento
Δ=(m−2)²>0 dá m≠2; S=m+2>0 dá m>−2; P=2m>0 dá m>0.
Justificativa
Todas as condições devem valer simultaneamente.
Resposta final
m>0, com m≠2.
Verificação
Para m=1, as raízes 1 e 2 são positivas; m=2 gera raiz dupla e é excluído.
Erro frequente
Verificar apenas Δ e aceitar raízes negativas.
10. Avançada — otimização com domínio
Questão
Uma cerca de 40 m forma três lados de um retângulo. Determine a área máxima.
Estratégia
Modelar a área e usar o vértice.
Desenvolvimento
Se x é a largura, A(x)=x(40−2x)=−2x²+40x, com 0<x<20. O vértice ocorre em x=10.
Justificativa
O vértice pertence ao domínio e a<0, portanto produz máximo.
Resposta final
A área máxima é 200 m², com dimensões 10 m por 20 m.
Verificação
2·10+20=40 e 10·20=200.
Erro frequente
Dar apenas x=10 sem interpretar a área e a unidade.
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Exercícios

Responda todas as questões. O gabarito comentado só será liberado depois da conclusão.

1. Em f(x)=3x²−2x+7, qual é o coeficiente quadrático?
2. As raízes de x²−5x+6 são:
3. Se Δ<0 e a>0, então f(x):
4. O vértice de x²−4x+3 é:
5. A imagem de −(x−1)²+4 é:
6. A forma fatorada de x²−6x+5 é:
7. A solução de x²−9≤0 é:
8. Se x₁+x₂=5 e x₁x₂=6, uma equação mônica é:
9. Em f(x)=2x²+bx−3, o gráfico encontra o eixo y em:
10. A função 2x²−8x+3 decresce em:
11. Para que mx²−2x+m seja positiva para todo real, devemos ter:
12. Se o produto das raízes é negativo, então as raízes:
13. O valor máximo de −x²+6x−5 é:
14. Em (x²−4)/(x−1)≥0, qual valor é obrigatoriamente excluído?
15. A forma canônica de x²−6x+5 é:
16. Uma cerca de 40 m forma três lados de um retângulo. A área máxima é:

Gabarito comentado

  1. B — a é o número que acompanha x².
  2. C — (x−2)(x−3)=0.
  3. A — sem raízes e com concavidade para cima, o gráfico fica acima do eixo.
  4. D — xᵥ=2 e yᵥ=−1.
  5. B — o máximo é 4.
  6. C — soma 6 e produto 5.
  7. A — a parábola fica abaixo do eixo entre −3 e 3, incluindo as raízes.
  8. B — x²−Sx+P.
  9. D — f(0)=c.
  10. C — decresce antes do vértice.
  11. A — combine m>0 com Δ<0.
  12. D — P<0.
  13. B — V(3,4).
  14. C — denominador nulo.
  15. D — completar o quadrado.
  16. A — vértice de A(x)=−2x²+40x.
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Erros frequentes e como evitá-los

AssuntoErroComo evitar
Sinal de bUsar b sem seu sinal na fórmula.Registre a, b e c entre parênteses antes de calcular.
Δ e √ΔSubstituir Δ onde a fórmula pede √Δ.Calcule Δ e, em uma linha separada, calcule √Δ.
Raiz duplaDizer que existem duas raízes distintas quando Δ=0.Uma raiz dupla representa um único valor real de x.
Máximo e mínimoEscolher pelo sinal de yᵥ.Quem decide é a concavidade: a>0 mínimo; a<0 máximo.
Valor e ponto extremoResponder apenas V quando pedem o valor máximo.Valor é yᵥ; ponto é (xᵥ,yᵥ).
Domínio contextualAceitar tempo ou medida negativa.Declare o domínio que faz sentido no problema.
InequaçõesIncluir extremos em > ou <.Use parênteses em desigualdades estritas e colchetes em ≥ ou ≤.
Coeficiente quadráticoEsquecer a≠0 em parâmetros.Verifique o coeficiente de x² antes de usar Δ.
QuocientesIncluir valor que zera o denominador.Marque-o como proibido antes do estudo de sinais.
ParâmetrosUsar apenas uma condição.Interseccione a≠0, Δ, sinal de a, soma, produto e domínio conforme o enunciado.
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Resumo final

Mapa conceitual

Coeficientes
a, b, c
Função quadrática
ax²+bx+c
Gráfico
parábola
Δ e raízes
Vértice e imagem
Sinal e inequações
Viète e parâmetros
Máximo e mínimo
Modelagem

As três formas

FormaExpressãoInformação evidenciada
Desenvolvidaax²+bx+cCoeficientes e intercepto (0,c)
Fatoradaa(x−x₁)(x−x₂)Raízes reais e estudo do sinal
Canônicaa(x−xᵥ)²+yᵥVértice, extremo e imagem

Fórmulas essenciais

DiscriminanteΔ=b²−4ac
Raízesx=(−b±√Δ)/(2a)
Vérticexᵥ=−b/(2a), yᵥ=−Δ/(4a)
Viètex₁+x₂=−b/a, x₁x₂=c/a

Seis casos e sinal

Δ>0Δ=0Δ<0
a>0+ | − | ++ e zero na raizsempre +
a<0− | + | −− e zero na raizsempre −

Checklist para construir uma parábola

  1. Identificar a, b e c.
  2. Definir concavidade.
  3. Calcular Δ.
  4. Encontrar raízes reais.
  5. Calcular V(xᵥ,yᵥ).
  6. Marcar (0,c).
  7. Traçar x=xᵥ.
  8. Usar pontos simétricos.
  9. Esboçar respeitando a abertura.

Checklist para resolver uma inequação

  1. Levar tudo para um membro.
  2. Fatorar ou encontrar as raízes.
  3. Ordenar pontos críticos.
  4. Marcar valores proibidos.
  5. Analisar o sinal por intervalo.
  6. Escolher os intervalos pedidos.
  7. Incluir ou excluir extremos corretamente.
  8. Conferir um valor de teste.

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Sequência aprofundada com referência temática no FME 1, mas com redação, exemplos, diagramas e exercícios próprios do EstudaMath.