Conceito e gráfico
Função quadrática é toda função real dada por f(x)=ax²+bx+c, com a≠0. Seu gráfico é uma parábola de eixo vertical.
a>0: concavidade para cima e mínimo.
a<0: concavidade para baixo e máximo.
c=f(0): corte no eixo y.
Raízes e discriminante
As raízes são as soluções de ax²+bx+c=0. O discriminante indica quantos pontos reais a parábola possui no eixo x.
x = (−b ± √Δ)/(2a)
Δ>0: duas raízes reais distintas.
Δ=0: uma raiz real dupla.
Δ<0: nenhuma raiz real.
Vértice e eixo de simetria
O vértice é o ponto de máximo ou mínimo da parábola. Seu x também define o eixo de simetria.
yᵥ = f(xᵥ) = −Δ/(4a)
f(x)=x²−6x+5.
xᵥ=6/2=3.
yᵥ=f(3)=9−18+5=−4.
V=(3,−4).
Forma canônica
A forma canônica evidencia o vértice e facilita transformações do gráfico.
x²−6x+5 = (x−3)²−4.
O vértice é (3,−4) e a concavidade é para cima.
Domínio, imagem e extremo
Para a lei quadrática sem restrição contextual, o domínio é ℝ. A imagem começa no valor do vértice e segue conforme a concavidade.
a>0: Im(f)=[yᵥ,+∞).
a<0: Im(f)=(−∞,yᵥ].
Sinal e inequações quadráticas
Marque as raízes na reta e use a concavidade. Fora das raízes, o sinal é o mesmo de a; entre duas raízes distintas, o sinal é oposto ao de a.
x²−5x+6>0.
(x−2)(x−3)>0.
Como a>0, a expressão é positiva fora das raízes.
Solução: x<2 ou x>3.
Aplicações de máximo e mínimo
Receita, lucro, área e trajetória podem ser modelados por parábolas. O vértice fornece o valor ótimo quando o domínio do problema é respeitado.
A(x)=−x²+12x representa uma área.
xᵥ=−12/(2·−1)=6.
A(6)=36. A área máxima é 36.
Pegadinhas
- Esquecer a condição a≠0.
- Usar b em vez de −b na fórmula de Bhaskara.
- Confundir Δ com √Δ.
- Achar que o vértice sempre é mínimo.
- Ignorar a concavidade no estudo do sinal.
- Aceitar valores fora do domínio contextual do problema.
Questões resolvidas
1. Raízes
Encontre as raízes de x²−7x+12.
Fatorando: (x−3)(x−4)=0.
Logo, x=3 ou x=4.
A parábola corta o eixo x em (3,0) e (4,0).
2. Vértice e imagem
Determine o vértice e a imagem de f(x)=2x²−8x+1.
xᵥ=8/4=2.
yᵥ=f(2)=8−16+1=−7.
Como a=2>0, Im(f)=[−7,+∞).
3. Inequação
Resolva −x²+4x−3≥0.
As raízes são 1 e 3.
A concavidade é para baixo.
A expressão é não negativa entre as raízes.
Solução: [1,3].
Exercícios
1. O gráfico de uma função quadrática é:
2. Se a<0, a parábola possui:
3. Para f(x)=x²−4x+3, as raízes são:
4. O x do vértice de x²−6x+2 é:
5. Se Δ<0 e a>0, então f(x):
6. A imagem de −(x−2)²+5 é:
Gabarito comentado:
1-B: Toda função quadrática tem gráfico parabólico.
2-B: O sinal de a define a concavidade.
3-A: x²−4x+3=(x−1)(x−3).
4-C: xᵥ=−(−6)/(2·1)=3.
5-A: Sem raízes e com concavidade para cima, a parábola fica acima do eixo x.
6-B: O valor máximo é 5.
Resumo final
- Função quadrática tem forma ax²+bx+c, com a≠0.
- O gráfico é uma parábola e a define a concavidade.
- Δ determina a quantidade de raízes reais.
- O vértice fornece máximo ou mínimo.
- A imagem depende de yᵥ e da concavidade.
- Inequações são resolvidas pelas raízes e pelo sinal da parábola.