Conceito e escopo funcional
Uma função polinomial é definida por f(x)=aₙxⁿ+...+a₁x+a₀, com expoentes inteiros não negativos e aₙ≠0.
Nesta aula, o foco é comportamento, zeros, sinal e gráfico. Operações, divisão e teoremas algébricos permanecem na aula de Polinômios.
Grau e comportamento nas extremidades
O grau e o sinal do coeficiente dominante determinam o comportamento para valores muito grandes de |x|.
Grau par e aₙ>0: as duas pontas sobem.
Grau par e aₙ<0: as duas pontas descem.
Grau ímpar e aₙ>0: esquerda desce, direita sobe.
Grau ímpar e aₙ<0: esquerda sobe, direita desce.
Zeros e forma fatorada
Os zeros são valores r para os quais f(r)=0. Quando conhecemos as raízes, a forma fatorada mostra os pontos em que o gráfico encontra o eixo x.
Nem todas as raízes precisam ser reais; o gráfico real mostra somente as raízes reais.
Multiplicidade e contato com o eixo
A multiplicidade de uma raiz altera o modo como o gráfico encontra o eixo x.
Multiplicidade ímpar: o gráfico atravessa o eixo.
Multiplicidade par: o gráfico toca o eixo e retorna.
Multiplicidades maiores deixam o gráfico mais achatado perto da raiz.
Tabela de sinais
Fatore a expressão, marque as raízes e analise o sinal dos fatores em cada intervalo. Em uma raiz de multiplicidade ímpar, o sinal troca; em multiplicidade par, permanece.
f(x)=(x−1)(x+2).
Raízes: −2 e 1.
f>0 em (−∞,−2)∪(1,+∞).
f<0 em (−2,1).
Esboço do gráfico
Para um esboço coerente, combine: comportamento nas extremidades, raízes e multiplicidades, f(0), sinal por intervalos e alguns pontos adicionais.
- Identifique grau e coeficiente dominante.
- Encontre os zeros reais.
- Determine o comportamento em cada raiz.
- Calcule f(0) e organize o sinal.
- Una as informações com uma curva contínua.
Equações e inequações polinomiais
Equações pedem os zeros; inequações pedem intervalos em que o gráfico está acima, abaixo ou sobre o eixo x.
(x−3)²(x+1)≤0.
As raízes são −1 e 3; em 3 a multiplicidade é par.
O sinal é negativo antes de −1 e positivo depois, sem troca em 3.
Solução: (−∞,−1]∪{3}.
Pegadinhas
- Repetir aqui as operações algébricas em vez de estudar a função.
- Achar que o grau informa sozinho todas as curvas possíveis.
- Esquecer a multiplicidade das raízes.
- Trocar o sinal em raiz de multiplicidade par.
- Afirmar que toda função de grau n possui n zeros reais.
- Desenhar o gráfico sem conferir f(0) e o comportamento das pontas.
Questões resolvidas
1. Comportamento global
Descreva as pontas de f(x)=−2x⁴+x.
O grau é par.
O coeficiente dominante é negativo.
Quando x→±∞, f(x)→−∞: as duas pontas descem.
2. Multiplicidade
Analise as raízes de f(x)=(x−2)²(x+3).
x=2 tem multiplicidade 2: o gráfico toca o eixo.
x=−3 tem multiplicidade 1: o gráfico atravessa o eixo.
A soma das multiplicidades é 3, igual ao grau.
3. Sinal
Resolva (x−1)(x−4)>0.
As raízes são 1 e 4.
O produto é positivo fora do intervalo entre as raízes.
Solução: x<1 ou x>4.
Exercícios
1. O domínio natural de uma função polinomial real é:
2. Uma raiz de f é um valor r tal que:
3. Em uma raiz de multiplicidade par, o gráfico:
4. Grau ímpar e coeficiente dominante positivo indicam:
5. A solução de (x−2)²<0 é:
6. Se f(x)=(x+1)³, em x=−1 o gráfico:
Gabarito comentado:
1-A: Polinômios estão definidos para todo número real.
2-B: Zeros satisfazem f(r)=0.
3-B: O sinal não muda em uma raiz de multiplicidade par.
4-C: É o comportamento do termo dominante positivo de grau ímpar.
5-D: Um quadrado nunca é negativo.
6-B: A multiplicidade 3 é ímpar.
Resumo final
- Funções polinomiais estão definidas em todo ℝ.
- Grau e coeficiente dominante controlam o comportamento das pontas.
- Zeros reais são interseções com o eixo x.
- Multiplicidade par toca; multiplicidade ímpar atravessa.
- Tabelas de sinais resolvem inequações.
- O esboço combina raízes, f(0), sinal e comportamento global.