Função polinomial

O que você precisa saber antes

A análise da função usa operações algébricas já estudadas. Antes de avançar, verifique se você consegue:

• reduzir e ordenar um polinômio, reunindo termos semelhantes;
• calcular P(a), substituindo corretamente x por um número;
• colocar fator comum em evidência e reconhecer produtos notáveis;
• dividir polinômios e usar o teorema do resto quando uma raiz é conhecida.

As aulas de Função afim e Função quadrática apresentam, com mais detalhes, os casos de graus 1 e 2.

Definição de função polinomial

Uma função f: ℝ → ℝ é polinomial quando pode ser escrita na forma:

• n é um número inteiro não negativo;
• a₀,a₁,…,aₙ são números reais chamados coeficientes;
• aₙ≠0, pois o primeiro termo escrito precisa realmente existir;
• os expoentes de x são somente 0,1,2,…,n.

Em outras palavras: cada termo é um número real multiplicado por uma potência inteira não negativa de x, e a função é a soma de uma quantidade finita desses termos.

A função constante f(x)=b também é polinomial, pois pode ser escrita como f(x)=b·x⁰.

Expressão, função, equação e identidade

A mesma escrita x²−4 pode aparecer em perguntas diferentes. O que muda é o objeto que está sendo estudado.

Grau e coeficientes

Primeiro escreva o polinômio em ordem decrescente e reúna termos semelhantes. O grau é o maior expoente cujo coeficiente não é zero.

Não confunda: grau não é quantidade de termos. 7x⁸−2 tem somente dois termos, mas grau 8. O polinômio nulo P(x)=0 não recebe grau na convenção escolar usual.

Domínio, imagem e continuidade

Domínio natural

Toda função polinomial real pode ser calculada para qualquer x∈ℝ. Não há denominadores com variável, raízes de índice par nem logaritmos que possam proibir alguma entrada. Portanto, sem contexto adicional, D(f)=ℝ.

Imagem

A imagem é o conjunto das saídas realmente produzidas. Ela não pode ser descoberta apenas olhando o domínio; precisamos analisar a própria função.

Em geral, grau ímpar produz imagem ℝ. Grau par produz uma imagem limitada de um lado, mas localizar o mínimo ou o máximo pode exigir o estudo de extremos.

Continuidade

O gráfico de uma função polinomial pode ser desenhado sem tirar o lápis do papel: não possui saltos, buracos nem assíntotas verticais. Uma consequência importante é a seguinte:

Em um problema real, o domínio do modelo pode ser menor. Se x representa o lado de uma peça, por exemplo, o contexto pode exigir x>0, mesmo que a fórmula polinomial aceite todos os reais.

Zeros, raízes e interceptos

Os termos abaixo aparecem juntos, mas não significam exatamente a mesma coisa:

• zero ou raiz real: número r para o qual P(r)=0;
• solução da equação: valor de x que resolve P(x)=0;
• intercepto no eixo x: ponto do gráfico escrito como (r,0);
• intercepto no eixo y: ponto (0,P(0))=(0,a₀).

Assim, a raiz é um número, enquanto o intercepto é um ponto do plano.

Teorema do fator

Quando dividimos P(x) por x−r, o teorema do resto afirma que o resto é P(r). Portanto:

Em outras palavras: se a substituição x=r produz zero, então a divisão por x−r é exata. Isso permite reduzir o grau e continuar a fatoração.

O algoritmo da divisão e o dispositivo de Briot–Ruffini são desenvolvidos em Polinômios.

Forma fatorada e Teorema Fundamental da Álgebra

A forma fatorada revela diretamente as raízes e suas repetições. Se todas as raízes complexas de um polinômio de grau n forem r₁,…,rₙ, contando repetições, então:

O Teorema Fundamental da Álgebra garante exatamente n raízes em ℂ, contadas com multiplicidade. Ele não afirma que todas sejam reais nem distintas.

Quando aparecem raízes complexas conjugadas, seus dois fatores lineares podem ser reunidos em um fator quadrático real. Por isso, a fatoração sobre ℝ pode terminar antes de todos os fatores serem lineares.

Multiplicidade de uma raiz

Se (x−r)ᵐ aparece na fatoração e a potência seguinte não aparece, dizemos que r tem multiplicidade m.

Ferramenta avançada: uma raiz tem multiplicidade m quando P(r)=P′(r)=…=P⁽ᵐ⁻¹⁾(r)=0 e P⁽ᵐ⁾(r)≠0. Essa caracterização será usada depois em problemas com parâmetros.

Raízes complexas e pares conjugados

Se todos os coeficientes de P são reais e a+bi, com b≠0, é raiz, então a−bi também é. As raízes não reais aparecem em pares conjugados.

Comportamento nas extremidades

Quando |x| fica muito grande, a potência mais alta cresce mais rapidamente que as demais. Por isso, o termo dominante aₙxⁿ determina a direção das duas pontas do gráfico.

Essa análise descreve somente as pontas. Zeros, máximos, mínimos e ondulações internas dependem dos outros termos.

Tabela de sinais

A tabela de sinais responde onde P(x) é positiva, negativa ou nula. Vamos construir a análise de P(x)=(x+2)(x−1)²(x−3).

1. Ordene as raízes: −2,1,3.
2. Registre as multiplicidades: 1 em −2, 2 em 1 e 1 em 3.
3. Descubra um primeiro sinal: para x>3, todos os fatores são positivos; logo, o produto é positivo.
4. Caminhe pela reta: o sinal troca ao passar por raiz de multiplicidade ímpar e permanece ao passar por raiz de multiplicidade par.

Portanto, P(x)>0 em (−∞,−2)∪(3,+∞) e P(x)<0 em (−2,1)∪(1,3). Para P(x)≤0, incluímos também as raízes e obtemos [−2,3].

Simetrias

O teste algébrico consiste em substituir x por −x e simplificar.

Ter grau par não basta para a função ser par. O que importa é a presença exclusiva de potências pares. Do mesmo modo, uma função ímpar precisa conter apenas potências ímpares e ter termo constante igual a zero.

Transformações do gráfico

Se conhecemos o gráfico de y=P(x), podemos obter outros gráficos movendo ou refletindo seus pontos.

Construção organizada do gráfico

Antes de usar derivadas, já podemos produzir um esboço coerente reunindo as informações anteriores.

Duas funções de mesmo grau ainda podem ter quantidades diferentes de zeros reais:

Crescimento, decrescimento e derivada

A derivada é uma ferramenta mais avançada que mede a inclinação local do gráfico. Ela permite saber onde a curva sobe, desce ou muda de direção.

• P′(x)>0: a função é crescente naquele intervalo;
• P′(x)<0: a função é decrescente;
• P′(x)=0: há um ponto crítico, candidato a máximo, mínimo ou ponto de tangente horizontal.

Como P′ tem grau n−1, uma função de grau n possui no máximo n−1 pontos críticos reais.

Máximos e mínimos locais

Um ponto crítico só é classificado depois de observar a mudança de sinal da derivada: de positivo para negativo surge um máximo local; de negativo para positivo, um mínimo local.

Logo, (−1,2) é máximo local e (1,−2) é mínimo local. Eles não são absolutos: a cúbica cresce sem limite para a direita e decresce sem limite para a esquerda.

Equações polinomiais

Resolver uma equação polinomial significa encontrar todos os valores que tornam uma igualdade verdadeira. Quando a equação está na forma P(x)=0, suas soluções são as raízes de P.

1. Leve todos os termos para um mesmo lado.
2. Reduza e ordene o polinômio.
3. Procure fator comum, produtos notáveis, substituição ou agrupamento.
4. Use raízes racionais simples e o teorema do fator para diminuir o grau.
5. Aplique o produto nulo e verifique se todas as soluções foram encontradas.

Quando o segundo membro não é zero

Para resolver P(x)=k, podemos escrever P(x)−k=0. Graficamente, procuramos as interseções entre y=P(x) e a reta horizontal y=k.

Inequações polinomiais

Uma inequação não procura pontos isolados, mas intervalos em que o polinômio tem o sinal pedido.

1. Escreva a comparação com zero.
2. Fatore o polinômio.
3. Ordene as raízes e registre as multiplicidades.
4. Monte a tabela de sinais.
5. Escolha os intervalos corretos e inclua as raízes somente quando houver ≤ ou ≥.

Como determinar uma função polinomial

O método depende do tipo de informação fornecida.

Quando conhecemos valores da função

Um polinômio de grau no máximo n tem n+1 coeficientes. Em geral, precisamos de n+1 condições independentes para determiná-los.

Quando conhecemos raízes

Problemas com parâmetros

Um parâmetro, como k, representa um número ainda não fixado. Cada escolha de k produz uma função da mesma família. A tarefa é transformar a condição verbal em uma condição algébrica.

Aplicações e limites do modelo

Uma fórmula polinomial pode descrever áreas, volumes, custos ou lucros, mas o contexto decide quais entradas e saídas têm sentido.

Determinando o domínio do modelo

As três dimensões precisam ser positivas: x>0, 20−2x>0 e 14−2x>0. As duas últimas condições fornecem x<10 e x<7. A restrição mais forte é x<7.

Portanto, o domínio físico é 0<x<7. A fórmula aceita outros números reais, mas eles não representam uma caixa possível. Nos extremos x=0 e x=7, pelo menos uma dimensão fica nula e o volume é zero.

15 exemplos comentados

Tente resolver cada questão antes de abrir a explicação. As soluções mostram o raciocínio, não apenas a resposta.