Módulo como distância
O módulo |x| representa a distância de x até zero na reta real. Por isso, nunca é negativo.
|x| = −x, se x<0
Mais geralmente, |x−a| é a distância entre x e a.
Gráfico de y=|x|
O gráfico possui formato de V, vértice na origem e simetria em relação ao eixo y.
Domínio: ℝ.
Imagem: [0,+∞).
Decrescente em (−∞,0] e crescente em [0,+∞).
Função par: f(−x)=f(x).
Transformações do gráfico
Na forma f(x)=a|x−h|+k, o vértice é (h,k).
|a| altera a abertura.
a<0 inverte o V.
h desloca horizontalmente.
k desloca verticalmente.
f(x)=−2|x−3|+1.
Vértice: (3,1).
O gráfico abre para baixo e tem máximo 1.
Escrita por partes
Para retirar o módulo, identificamos onde a expressão interna muda de sinal.
|x−2| = 2−x, se x<2
Esse ponto de troca também costuma ser o vértice do gráfico.
Equações modulares
Para k≥0, |A(x)|=k equivale a A(x)=k ou A(x)=−k. Se k<0, não há solução real.
|2x−1|=5.
2x−1=5 ou 2x−1=−5.
x=3 ou x=−2.
Inequações modulares
|x−a|>r ⇔ x<a−r ou x>a+r
Para ≤ e ≥, inclua os extremos. Essas equivalências valem para r≥0.
|x−4|≤3.
1≤x≤7.
Gráficos de |f(x)| e f(|x|)
Em y=|f(x)|, as partes do gráfico abaixo do eixo x são refletidas para cima. Em y=f(|x|), copiamos a metade direita do gráfico para o lado esquerdo.
Essas transformações são diferentes e aparecem com frequência em questões gráficas.
Pegadinhas
- Achar que |x| pode ser negativo.
- Escrever |x|=±x sem considerar casos.
- Esquecer que |A|=k<0 não possui solução.
- Trocar as regras de inequações internas e externas.
- Confundir |f(x)| com f(|x|).
- Ler h com sinal errado em |x−h|.
Questões resolvidas
1. Vértice e imagem
Analise f(x)=3|x+2|−6.
x+2=x−(−2), então h=−2.
O vértice é (−2,−6).
Como a=3>0, Im(f)=[−6,+∞).
2. Equação
Resolva |x−3|=7.
x−3=7 ou x−3=−7.
x=10 ou x=−4.
3. Inequação
Resolva |2x+1|<5.
−5<2x+1<5.
−6<2x<4.
−3<x<2.
Exercícios
1. |−8| é:
2. O vértice de y=|x−4| é:
3. |x|=3 possui soluções:
4. |x−2|<4 equivale a:
5. A imagem de −|x|+5 é:
6. A equação |x+1|=−2:
Gabarito comentado:
1-C: Módulo é distância até zero.
2-C: Na forma |x−h|, o vértice é (h,0).
3-C: Os pontos a distância 3 do zero são −3 e 3.
4-A: 2−4<x<2+4.
5-B: O V invertido possui máximo 5.
6-C: Módulo nunca é negativo.
Resumo final
- Módulo representa distância e é sempre não negativo.
- y=|x| possui gráfico em V.
- a|x−h|+k tem vértice (h,k).
- Equações modulares são resolvidas por casos.
- Inequações internas representam intervalos; externas, duas regiões.
- |f(x)| e f(|x| produzem transformações diferentes.