Conceito e domínio
Uma função racional é um quociente de polinômios.
O domínio exclui todos os zeros do denominador original, mesmo quando algum fator pode ser cancelado durante a simplificação.
Zeros e interseções
Um zero ocorre quando o numerador é zero e o denominador não é. O corte no eixo y é f(0), quando zero pertence ao domínio.
f(x)=(x−3)/(x+1).
Zero: x−3=0, então x=3.
Interseção com y: f(0)=−3.
Furos e assíntotas verticais
Se um fator do denominador cancela com o numerador, surge uma descontinuidade removível, representada por um furo. Se o fator não cancela e a função cresce sem limite perto do ponto, há assíntota vertical.
f(x)=(x²−1)/(x−1), x≠1.
Simplificando, f(x)=x+1, mas o ponto x=1 continua fora do domínio.
O gráfico é a reta y=x+1 com um furo em (1,2).
Assíntotas horizontais e oblíquas
grau(P)<grau(Q): assíntota horizontal y=0.
grau(P)=grau(Q): y é a razão dos coeficientes dominantes.
grau(P)=grau(Q)+1: a divisão pode fornecer assíntota oblíqua.
A assíntota descreve o comportamento da função, mas não é uma barreira absoluta: uma curva pode cruzar uma assíntota horizontal.
Função recíproca e transformações
O modelo y=1/x possui domínio e imagem ℝ{0}, assíntotas x=0 e y=0 e dois ramos de hipérbole.
Nessa forma, as assíntotas são x=h e y=k; o sinal de a orienta os ramos.
Estudo do sinal
Marque zeros do numerador e valores proibidos do denominador. Em cada intervalo, analise o sinal dos fatores.
(x−2)/(x+3)>0.
Pontos críticos: −3, proibido, e 2, zero.
O quociente é positivo em (−∞,−3)∪(2,+∞).
Equações e inequações racionais
Antes de operar, registre as restrições. Em equações, multiplique pelo denominador comum somente após excluí-lo de zero. Em inequações, não multiplique por uma expressão de sinal desconhecido: use tabela de sinais.
1/(x−1)=2.
Restrição: x≠1.
1=2(x−1), então x=3/2, valor permitido.
Pegadinhas
- Cancelar fatores e recolocar no domínio um valor proibido.
- Procurar zeros também no denominador.
- Confundir furo com assíntota vertical.
- Achar que a curva nunca cruza assíntota horizontal.
- Multiplicar inequação por denominador de sinal desconhecido.
- Esquecer as restrições antes de resolver a equação.
Questões resolvidas
1. Domínio e zero
Analise f(x)=(2x−4)/(x²−9).
Domínio: x≠−3 e x≠3.
Zero: 2x−4=0, então x=2.
Como 2 pertence ao domínio, é zero da função.
2. Assíntotas
Determine as assíntotas de f(x)=(3x+1)/(x−2).
O denominador zera em x=2 e não há cancelamento: assíntota vertical x=2.
Os graus são iguais.
A razão dos coeficientes dominantes é 3: assíntota horizontal y=3.
3. Inequação
Resolva (x+1)/(x−4)≤0.
Pontos críticos: −1, zero, e 4, proibido.
O quociente é negativo entre −1 e 4.
Incluímos −1 e excluímos 4.
Solução: [−1,4).
Exercícios
1. Em P(x)/Q(x), o domínio exclui:
2. O zero de (x−5)/(x+2) é:
3. A assíntota vertical de 1/(x−3) é:
4. (x²−1)/(x−1), no domínio original, possui:
5. A assíntota horizontal de (2x+1)/(x−4) é:
6. A solução de 1/(x−2)>0 é:
Gabarito comentado:
1-B: O denominador não pode ser zero.
2-D: O numerador zera em x=5 e o denominador não.
3-C: O denominador zera em x=3.
4-B: O fator cancela, mas x=1 permanece excluído.
5-C: Graus iguais: razão 2/1=2.
6-B: O numerador é positivo; o denominador precisa ser positivo.
Resumo final
- Função racional é quociente de polinômios.
- Zeros do denominador são excluídos do domínio original.
- Zeros da função vêm do numerador permitido.
- Cancelamento pode criar um furo.
- Assíntotas descrevem o comportamento próximo a pontos ou no infinito.
- Inequações racionais exigem tabela de sinais e atenção aos valores proibidos.