Definição e condições
A função exponencial básica tem a forma f(x)=aˣ, com base positiva e diferente de 1.
Seu domínio é ℝ e sua imagem é (0,+∞). O gráfico passa por (0,1) e nunca toca o eixo x.
Crescimento e decaimento
a>1: função estritamente crescente.
0<a<1: função estritamente decrescente.
Em ambos os casos, aˣ>0.
A reta y=0 é assíntota horizontal.
Transformações e parâmetros
Em f(x)=C·aˣ+k, C determina escala e possível reflexão, enquanto k desloca o gráfico verticalmente.
f(x)=2·3ˣ−4.
f(0)=2−4=−2.
A assíntota horizontal é y=−4.
A função é crescente porque a base é 3 e C>0.
Propriedades de potências
aᵐ/aⁿ=aᵐ⁻ⁿ
(aᵐ)ⁿ=aᵐⁿ
a⁻ⁿ=1/aⁿ
Essas propriedades permitem escrever os dois lados de uma equação com a mesma base.
Equações exponenciais
Quando conseguimos igualar as bases, igualamos os expoentes. Caso isso não seja possível, logaritmos podem ser usados.
2ˣ⁺¹=16.
16=2⁴.
x+1=4, então x=3.
Inequações exponenciais
Com bases iguais: se a>1, preserve o sentido da desigualdade; se 0<a<1, inverta o sentido ao comparar expoentes.
(1/2)ˣ>(1/2)³.
A base está entre 0 e 1, então x<3.
Modelos de crescimento e decaimento
Para crescimento, r>0. Para decaimento, usamos fator 1−r entre 0 e 1. Populações, radioatividade, juros compostos e depreciação são exemplos.
Um capital de 1000 cresce 10% por período.
M(t)=1000·1,1ᵗ.
Após 2 períodos: M(2)=1210.
Pegadinhas
- Permitir base negativa na definição real geral.
- Usar a=1 e chamar a função de exponencial variável.
- Achar que aˣ pode ser zero.
- Confundir crescimento exponencial com crescimento linear.
- Não inverter a desigualdade quando 0<a<1.
- Somar percentuais sucessivos em vez de multiplicar fatores.
Questões resolvidas
1. Equação com mesma base
Resolva 9ˣ=27.
9=3² e 27=3³.
3²ˣ=3³.
2x=3, então x=3/2.
2. Decaimento
Uma quantidade de 800 diminui 25% por período. Escreva o modelo.
O fator restante é 1−0,25=0,75.
Q(t)=800·0,75ᵗ.
Como a base é menor que 1, o modelo é decrescente.
3. Inequação
Resolva 3²ˣ⁻¹≤27.
27=3³.
Como 3>1, mantemos o sentido.
2x−1≤3, então x≤2.
Exercícios
1. Na função aˣ, a base deve satisfazer:
2. Para qualquer base válida, a⁰=
3. 2ˣ=32 fornece x=
4. Se 0<a<1, a função aˣ é:
5. (1/3)ˣ<(1/3)² implica:
6. Um aumento de 20% por período usa fator:
Gabarito comentado:
1-C: Essas condições definem a função exponencial real básica.
2-B: Toda base não nula elevada a zero vale 1.
3-B: 32=2⁵.
4-B: Bases entre 0 e 1 geram decaimento.
5-C: A base é menor que 1, então a ordem dos expoentes se inverte.
6-C: O total novo é 100%+20%=120%=1,2.
Resumo final
- Função exponencial tem variável no expoente.
- A base é positiva e diferente de 1.
- Domínio é ℝ e imagem é (0,+∞).
- Base maior que 1 gera crescimento; base entre 0 e 1 gera decaimento.
- Equações podem ser resolvidas igualando bases.
- Variações percentuais sucessivas são modeladas por fatores multiplicativos.