Definição de logaritmo
O logaritmo de b na base a é o expoente ao qual elevamos a para obter b.
As condições reais são a>0, a≠1 e b>0.
Função e gráfico
A função f(x)=logₐx tem domínio (0,+∞), imagem ℝ e assíntota vertical x=0. Seu gráfico passa por (1,0) e é inverso ao gráfico de y=aˣ.
a>1: função crescente.
0<a<1: função decrescente.
Valores fundamentais
logₐa=1
logₐ(aᵏ)=k
log₂8=3, pois 2³=8.
log₁₀0,01=−2, pois 10⁻²=0,01.
Propriedades operatórias
logₐ(M/N)=logₐM−logₐN
logₐ(Mᵏ)=k·logₐM
As propriedades exigem M>0 e N>0. Não existe regra que transforme log(M+N) em soma de logaritmos.
Mudança de base
A nova base c pode ser qualquer base válida. Em calculadoras, usamos geralmente log decimal ou ln.
log₂7 = ln7/ln2.
A fórmula permite calcular valores sem potência exata conhecida.
Equações logarítmicas
Registre as condições de existência antes de resolver. Com logaritmos de mesma base, a igualdade permite igualar os argumentos.
log₂(x−1)=3.
Condição: x−1>0.
x−1=2³=8, então x=9, valor permitido.
Inequações logarítmicas
Para a>1, preserve o sentido ao comparar argumentos. Para 0<a<1, inverta o sentido. Mantenha sempre os argumentos positivos.
log₃(x+2)≤2.
Condição: x>−2.
Como 3>1, x+2≤9, então x≤7.
Solução: (−2,7].
Aplicações e escalas
Logaritmos transformam produtos em somas e aparecem em escalas de grande variação, como pH, intensidade sonora e magnitude sísmica. Também permitem encontrar o tempo em modelos exponenciais.
2ᵗ=10.
Aplicando log: t·log2=log10.
t=log10/log2.
Pegadinhas
- Aceitar argumento zero ou negativo.
- Permitir base igual a 1.
- Confundir logₐb com b/a.
- Aplicar falsa propriedade log(M+N)=logM+logN.
- Esquecer as condições após encontrar soluções.
- Não inverter a desigualdade para base entre 0 e 1.
Questões resolvidas
1. Cálculo direto
Calcule log₃(1/9).
1/9=3⁻².
Logo, log₃(1/9)=−2.
2. Equação com propriedades
Resolva log₂x+log₂(x−2)=3.
Condições: x>2.
log₂[x(x−2)]=3.
x²−2x=8, então x=4 ou x=−2.
Somente x=4 satisfaz o domínio.
3. Inequação decrescente
Resolva log₁/₂(x)>−1.
Condição: x>0.
Como a base é menor que 1, invertemos: x<(1/2)⁻¹.
x<2. Solução: 0<x<2.
Exercícios
1. log₂8 vale:
2. O domínio de logₐx é:
3. log₁₀0,001 é:
4. logₐ(MN) é:
5. log₂(x−3)=2 fornece:
6. log₁/₂x>log₁/₂4 implica:
Gabarito comentado:
1-B: 2³=8.
2-C: O argumento deve ser estritamente positivo.
3-A: 0,001=10⁻³.
4-B: Logaritmo do produto vira soma.
5-C: x−3=4, então x=7.
6-B: A função é decrescente e o domínio exige x>0.
Resumo final
- logₐb é o expoente que transforma a em b.
- Base positiva diferente de 1; argumento positivo.
- Função logarítmica é inversa da exponencial.
- Produto vira soma, quociente vira diferença e potência vira fator.
- Equações e inequações exigem condições de existência.
- Para bases entre 0 e 1, a função é decrescente e inverte desigualdades.