Conceito de função inversa
A inversa desfaz a associação feita por f: ela troca entradas e saídas.
O símbolo f⁻¹ não significa 1/f. Ele indica uma nova função.
Condição de existência
Para possuir inversa de todo o contradomínio para o domínio, f deve ser bijetora. No gráfico, uma função é injetora quando toda reta horizontal a corta no máximo uma vez.
f(x)=2x+3 é bijetora de ℝ em ℝ.
f(x)=x² não é injetora em ℝ.
Restringindo x² a [0,+∞), obtemos uma função invertível.
Como encontrar a inversa
- Escreva y=f(x).
- Isole x em função de y.
- Troque os nomes x e y.
- Declare domínio e imagem.
y=3x−6.
x=(y+6)/3.
f⁻¹(x)=(x+6)/3.
Troca entre domínio e imagem
Ao inverter uma função, domínio e imagem trocam de papel.
Im(f⁻¹)=D(f)
Essa troca evita aceitar entradas para a inversa que nunca foram saídas da função original.
Verificação por composição
Funções inversas verdadeiras produzem a identidade quando compostas nas duas ordens.
f⁻¹(f(x))=x
f(x)=2x+1 e f⁻¹(x)=(x−1)/2.
f(f⁻¹(x))=2·(x−1)/2+1=x.
Gráficos simétricos
Os gráficos de f e f⁻¹ são simétricos em relação à reta y=x, pois cada ponto (a,b) é trocado por (b,a).
(2,7) em f corresponde a (7,2) em f⁻¹.
Pontos sobre y=x permanecem no mesmo lugar.
Restrição para obter inversa
Uma função não injetora pode se tornar invertível se restringirmos seu domínio a um intervalo em que seja estritamente crescente ou decrescente.
f(x)=x², x≥0.
y=x² e x≥0.
x=√y, então f⁻¹(x)=√x, com x≥0.
Pegadinhas
- Confundir f⁻¹(x) com 1/f(x).
- Inverter uma função que não é injetora.
- Trocar x e y sem antes isolar x.
- Esquecer a troca entre domínio e imagem.
- Verificar somente uma composição quando os conjuntos exigem as duas.
- Escrever ±√x como inversa de x² restrita a x≥0.
Questões resolvidas
1. Inversa afim
Encontre a inversa de f(x)=5x+2.
y=5x+2.
x=(y−2)/5.
f⁻¹(x)=(x−2)/5.
2. Inversa racional
Encontre a inversa de f(x)=1/(x−1).
y=1/(x−1).
y(x−1)=1, então x=1+1/y.
f⁻¹(x)=1+1/x, com x≠0.
3. Restrição necessária
Por que x² não tem inversa em ℝ?
f(2)=f(−2)=4.
Entradas diferentes possuem a mesma imagem.
A função não é injetora; é preciso restringir o domínio.
Exercícios
1. f⁻¹ representa:
2. Se f(3)=8, então:
3. A inversa de f(x)=x+4 é:
4. Uma função invertível em todo contradomínio deve ser:
5. Os gráficos de f e f⁻¹ são simétricos em relação a:
6. A inversa de x² restrita a x≥0 é:
Gabarito comentado:
1-B: O expoente −1 é notação de inversa, não de recíproca.
2-B: A inversa troca entrada e saída.
3-B: A operação inversa de somar 4 é subtrair 4.
4-C: Bijetividade garante correspondência um a um e cobertura.
5-C: A inversão troca as coordenadas dos pontos.
6-C: A restrição seleciona a raiz não negativa.
Resumo final
- A inversa troca entradas e saídas.
- f⁻¹ não é o recíproco 1/f.
- Bijetividade garante inversa global.
- Para obter a inversa, isole x e depois troque as variáveis.
- Domínio e imagem trocam de papel.
- Os gráficos são simétricos em relação a y=x.