Conceito e notação
A composição g∘f aplica primeiro f e depois g.
A saída de f precisa ser uma entrada permitida para g. A ordem é lida da direita para a esquerda.
Cálculo algébrico
Substituímos cada ocorrência da variável da função externa pela expressão da função interna.
f(x)=2x−1 e g(x)=x²+3.
(g∘f)(x)=g(2x−1).
(g∘f)(x)=(2x−1)²+3=4x²−4x+4.
A ordem altera o resultado
Em geral, g∘f≠f∘g. A composição não é comutativa.
f(x)=x+1 e g(x)=2x.
(g∘f)(x)=2(x+1)=2x+2.
(f∘g)(x)=2x+1.
As expressões são diferentes.
Composição em um valor
Podemos calcular por etapas: encontre a saída da função interna e use-a como entrada da função externa.
f(3)=5 e g(5)=−2.
Logo, (g∘f)(3)=g(f(3))=g(5)=−2.
Domínio da composição
Para x pertencer ao domínio de g∘f, duas condições devem ser satisfeitas: x deve pertencer ao domínio de f e f(x) deve pertencer ao domínio de g.
f(x)=x−1 e g(x)=√x.
(g∘f)(x)=√(x−1).
Exigimos x−1≥0, então x≥1.
Decompondo uma função
Uma expressão complexa pode ser vista como composição de funções simples.
h(x)=√(3x+2).
Escolha f(x)=3x+2 e g(u)=√u.
Então h=g∘f.
A decomposição não é necessariamente única.
Aplicações e cadeias de regras
Conversões de unidades, tarifas, escalas e processos em etapas são modelados por composições.
Uma loja aplica 10% de desconto e depois soma frete de R$ 20.
f(x)=0,9x e g(y)=y+20.
Preço final: (g∘f)(x)=0,9x+20.
Pegadinhas
- Ler g∘f da esquerda para a direita.
- Multiplicar g por f em vez de compor.
- Substituir somente uma ocorrência da variável.
- Supor que f∘g=g∘f.
- Ignorar o domínio da função externa.
- Confundir composição com função inversa.
Questões resolvidas
1. Composição algébrica
Se f(x)=x² e g(x)=x−4, determine f∘g.
(f∘g)(x)=f(g(x)).
Substituímos x de f por x−4.
(f∘g)(x)=(x−4)².
2. Duas ordens
Para f(x)=x+2 e g(x)=x², compare g∘f e f∘g.
(g∘f)(x)=(x+2)².
(f∘g)(x)=x²+2.
As composições são diferentes.
3. Domínio
Determine o domínio de h(x)=1/√(x+3).
A raiz exige x+3≥0.
Como está no denominador, também não pode ser zero.
Logo, x+3>0 e x>−3.
Exercícios
1. (g∘f)(x) significa:
2. Se f(2)=5 e g(5)=9, então (g∘f)(2)=
3. f(x)=x+1 e g(x)=3x. Então (g∘f)(x)=
4. O domínio de √(2x−4) é:
5. Em geral, f∘g e g∘f:
6. h(x)=|2x−1| pode ser g∘f com:
Gabarito comentado:
1-B: Aplicamos f primeiro e g depois.
2-D: g(f(2))=g(5)=9.
3-B: g(x+1)=3(x+1)=3x+3.
4-C: 2x−4≥0 fornece x≥2.
5-C: A composição não é comutativa.
6-A: g(f(x))=|2x−1|.
Resumo final
- g∘f aplica f primeiro e g depois.
- Composição é substituição de uma lei dentro da outra.
- A ordem geralmente altera o resultado.
- O domínio exige x∈D(f) e f(x)∈D(g).
- Expressões complexas podem ser decompostas em regras simples.
- Processos em etapas são aplicações naturais de composição.