Função afim

Função constante

Começamos pelo caso mais simples: uma função é constante quando apresenta a mesma saída para qualquer valor escolhido no domínio.

f(x) = b, com x \in ℝ e b \in ℝ

Em outras palavras: o valor de x pode mudar, mas o resultado da função permanece igual a b.

Considere, por exemplo, f(x) = 3:

x	Substituição	f(x)	Ponto
−2	f(−2) = 3	3	(−2, 3)
0	f(0) = 3	3	(0, 3)
2	f(2) = 3	3	(2, 3)

Todos os pontos possuem altura 3. Por isso, o gráfico é a reta horizontal y = 3, paralela ao eixo x.

Na forma f(x)=ax+b, a função constante corresponde a a=0. Se o domínio é ℝ, sua imagem possui apenas um elemento: Im(f)={3}.

Função identidade

A função identidade associa cada número real a ele mesmo.

f(x) = x, com x \in ℝ

Em outras palavras: o número que entra é exatamente o número que sai. Se entra −2, sai −2; se entra 0, sai 0; se entra 2, sai 2.

x	Substituição	f(x)	Ponto
−2	f(−2) = −2	−2	(−2, −2)
0	f(0) = 0	0	(0, 0)
2	f(2) = 2	2	(2, 2)

Como cada ponto tem coordenadas iguais, y=x. A reta passa pela origem e sobe uma unidade quando x aumenta uma unidade.

Na forma f(x)=ax+b, a função identidade possui a=1 e b=0. Seu zero é x=0 e, considerando domínio e contradomínio ℝ, sua imagem também é ℝ.

Função linear

Uma função de ℝ em ℝ é chamada linear quando existe um número real a, com a≠0, que multiplica cada entrada x:

f: ℝ \to ℝ, f(x) = ax, com x \in ℝ, a \in ℝ e a \neq 0

Em outras palavras: escolhemos um número real x e multiplicamos sempre pelo mesmo número a. Como f(0)=a·0=0, o gráfico passa obrigatoriamente pela origem (0,0). A função identidade é o caso particular a=1.

Como obter qualquer saída y

Chamamos a saída da função de y. Como f(x)=ax, escrevemos:
y = f(x) = ax
Para descobrir qual entrada x produz essa saída y, isolamos x. Como a≠0, podemos dividir os dois lados por a.
x = ya
Agora substituímos x = ya na função para conferir.
f(ya) = a · (ya) = y

Conclusão

Im(f) = ℝ

Portanto, para cada saída real y existe uma entrada real x = ya que a produz. Como a imagem é o conjunto de todas as saídas da função, concluímos que Im(f) = ℝ.

No exemplo f(x)=2x, cada saída é o dobro da entrada:

x	f(x)=2x	Ponto
−1	−2	(−1, −2)
0	0	(0, 0)
1	2	(1, 2)

O coeficiente a=2 faz a saída variar duas unidades quando x aumenta uma unidade.

A condição a≠0 faz parte da definição usada nesta aula. Se a=0, obtemos f(x)=0, que é a função constante nula, e não uma função linear.

Uma função de ℝ em ℝ é chamada função afim quando existem números reais a e b, com a≠0, tais que:

f(x) = ax + b, com a \in ℝ e b \in ℝ, sendo a \neq 0

Em outras palavras: multiplicamos a entrada x sempre pelo mesmo número a e, depois, somamos o mesmo número b. O número a é o coeficiente angular e determina a variação da função; o número b é o coeficiente linear e corresponde à saída obtida quando x=0.

Função	Coeficiente angular (a)	Coeficiente linear (b)
f(x)=3x+2	3	2
g(x)=−2x+1	−2	1
h(x)=x−3	1	−3
p(x)=4x	4	0

No último exemplo, p(x)=4x pode ser escrita como p(x)=4x+0. Portanto, toda função linear é um caso particular de função afim, aquele em que b=0.

Observe a diferença: na função linear, o termo independente é zero e a reta passa pela origem. Na função afim em geral, b pode ser diferente de zero.

Por que o gráfico é uma reta?

Escolha dois valores distintos x₁ e x₂. A razão entre a variação vertical e a variação horizontal será sempre a mesma:

A taxa entre quaisquer dois pontos

Escreva as duas imagens.
f(x₁) = ax₁ + b e f(x₂) = ax₂ + b
Calcule a diferença das imagens.
f(x₂) - f(x₁) = ax₂ + b - (ax₁ + b)
Os termos b se cancelam.
f(x₂) - f(x₁) = a(x₂ - x₁)
Como x₂ ≠ x₁, divida pela variação horizontal.
f(x₂) − f(x₁)x₂ − x₁ = a

Resultado

Δy/Δx = a, sempre constante

Todos os pares de pontos possuem a mesma inclinação. Por isso, os pontos ficam alinhados e o gráfico é uma reta. Quando a = 0, essa reta é horizontal.

Construção do gráfico

Como dois pontos distintos determinam uma reta, basta encontrar dois pares (x, f(x)). Um terceiro ponto serve para conferir os cálculos.

Escolha alguns valores de x.
Para f(x) = 2x - 4, usaremos x = 0, 1 e 2.
Calcule as imagens.
f(0) = -4, f(1) = -2 e f(2) = 0.
Marque os pontos.
Coloque (0, -4), (1, -2) e (2, 0) no plano cartesiano.
Trace a reta.
Os três pontos devem ficar alinhados.

O ponto (0, -4) é o encontro com o eixo y; o ponto (2, 0) é o encontro com o eixo x.

Não escolha dois valores iguais de x: eles produziriam o mesmo ponto e não determinariam uma reta.

Coeficiente angular e crescimento

O coeficiente a mede a inclinação da reta. Entre dois pontos distintos (x₁, y₁) e (x₂, y₂):

a = Δy/Δx = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁), com x₂ \neq x₁

Quanto maior |a|, mais inclinada é a reta. O sinal de a indica se a reta sobe ou desce da esquerda para a direita.

Por que o sinal de a determina o crescimento?

Considere x₂ > x₁.
x₂ - x₁ > 0
A diferença das imagens é:
f(x₂) - f(x₁) = a(x₂ - x₁)
Como x₂ - x₁ é positivo, o sinal da diferença depende de a.
a > 0 ⇒ f(x₂) > f(x₁); a < 0 ⇒ f(x₂) < f(x₁)

Em outras palavras: se a é positivo, aumentar x aumenta a imagem; se a é negativo, aumentar x diminui a imagem.

Coeficiente linear

Na lei f(x)=ax+b, o número b é o coeficiente linear. Para enxergar seu significado no gráfico, calculamos a imagem de x=0:

f(0) = a \cdot 0 + b = b

Assim, b é a coordenada y do ponto em que a reta encontra o eixo y: (0,b). Usamos x=0 nessa interpretação porque todos os pontos do eixo y possuem coordenada x igual a zero; isso não significa que x precise ser zero nos demais cálculos.

Como encontrar b usando qualquer ponto

Se conhecemos o coeficiente angular a e um ponto (x,y) da reta, também podemos isolar b na igualdade y=ax+b:

b = y - ax

Por exemplo, se a=2 e a reta passa pelo ponto (4,11), então b=11−2·4=3. Portanto, a reta encontra o eixo y no ponto (0,3).

As retas são paralelas porque possuem o mesmo a. Alterar b muda o ponto em que cada reta encontra o eixo y.

Não confunda: x=0 serve para localizar o encontro com o eixo y. Para determinar b, também podemos usar qualquer ponto conhecido da reta e calcular b=y−ax.

Zero e interseções

O zero da função é a entrada cuja imagem vale zero. No gráfico, é a coordenada x do encontro com o eixo x.

Obtendo o zero de f(x)=ax+b

Faça a saída valer zero.
ax + b = 0
Passe b para o outro lado.
ax = -b
Divida por a, que deve ser diferente de zero.
x = -b/a

Zero da função

x₀ = -b/a, com a ≠ 0

Para f(x)=2x-4, o coeficiente linear é -4 e o zero é -(-4)/2 = 2.

Estudo do sinal

Estudar o sinal é descobrir onde a reta está acima, sobre ou abaixo do eixo x. Considere f(x) = -2x + 6.

Encontre o zero.
-2x + 6 = 0 ⇒ x = 3.
Observe o coeficiente angular.
Como a = -2 < 0, a reta é decrescente.
Leia os lados do zero.
Antes de x = 3, a reta está acima do eixo x; depois de x = 3, está abaixo.

f(x) > 0x = 3
f(x) = 0f(x) < 0

Conclusão: f(x) > 0 para x < 3; f(x) = 0 para x = 3; f(x) < 0 para x > 3.

Evite decorar sem olhar a: quando a > 0, o sinal passa de negativo para positivo; quando a < 0, passa de positivo para negativo.

Encontrando a lei por dois pontos

Se uma reta passa por dois pontos com coordenadas x diferentes, primeiro encontramos a taxa a e depois o valor b. Considere os pontos (1, 3) e (4, 9).

Da informação dos pontos à lei

Calcule a inclinação.
a = (9 - 3)/(4 - 1) = 6/3 = 2
Substitua a = 2 em f(x)=ax+b.
f(x) = 2x + b
Use um dos pontos, por exemplo (1, 3).
3 = 2 · 1 + b
Isole b.
b = 1

Lei encontrada

f(x) = 2x + 1

Confira com o segundo ponto: f(4) = 2 · 4 + 1 = 9. Como ele também satisfaz a lei, o resultado está consistente.

Por que x₁ ≠ x₂? Se as coordenadas x fossem iguais, teríamos Δx = 0 e a divisão usada para calcular a não existiria. Além disso, dois pontos diferentes com o mesmo x formariam uma reta vertical, que não representa y como função de x.

Modelagem por função afim

Um reservatório contém 120 litros e perde 8 litros por minuto. Se t é o tempo em minutos, a quantidade de água é:

V(t) = 120 - 8t

Identifique o valor inicial.
No instante t = 0, há 120 litros. Portanto, b = 120.
Identifique a taxa.
A quantidade diminui 8 litros por minuto. Portanto, a = -8.
Encontre quando o reservatório esvazia.
120 - 8t = 0 ⇒ 8t = 120 ⇒ t = 15.
Restrinja o domínio.
O modelo físico vale de t = 0 até t = 15. Depois disso, a fórmula produziria volume negativo, que não faz sentido no contexto.

O contexto seleciona apenas o segmento entre (0, 120) e (15, 0).

Interprete antes de calcular: o símbolo b nem sempre significa “tempo inicial”; ele representa a saída quando a entrada vale zero. Seu significado concreto depende do problema.

Equações e inequações no gráfico

Dois planos de serviço cobram A(x) = 20 + 3x e B(x) = 8 + 5x, onde x é a quantidade utilizada.

Quando os preços são iguais?

Iguale as duas funções.
20 + 3x = 8 + 5x
Reúna os termos com x.
20 - 8 = 5x - 3x
Resolva.
12 = 2x ⇒ x = 6
Calcule o preço comum.
A(6) = B(6) = 38

No ponto de encontro, as duas funções têm o mesmo valor. À esquerda de x = 6, B é mais barato; à direita, A é mais barato.

Resolver A(x) < B(x) significa procurar onde a reta de A está abaixo da reta de B:

20 + 3x < 8 + 5x \Rightarrow 12 < 2x \Rightarrow x > 6

Exemplos comentados

Os exemplos abaixo retomam os pontos essenciais da aula. Observe o raciocínio antes da conclusão.

Descobrindo a lei por uma tabela

Problema. Na tabela, x assume 0, 1, 2 e 3, enquanto f(x) assume 5, 8, 11 e 14. Determine a lei.

Calcule as diferenças.
Quando x aumenta 1, a imagem aumenta sempre 3. Logo, a = 3.
Leia o valor inicial.
Como f(0) = 5, temos b = 5.
Monte e confira a lei.
f(x) = 3x + 5 e f(3) = 9 + 5 = 14, como na tabela.

Conclusão: f(x) = 3x + 5.

Coeficientes, zero e sinal na mesma função

Problema. Analise f(x) = -3x + 6.

Identifique os coeficientes.
a = -3 e b = 6. A reta é decrescente e encontra o eixo y em (0, 6).
Encontre o zero.
-3x + 6 = 0 ⇒ x = 2.
Leia o sinal.
Como a < 0, f(x) é positiva antes de 2 e negativa depois de 2.

positivo para x < 2x = 2
zeronegativo para x > 2

Conclusão: a função é decrescente, f(x) > 0 se x < 2 e f(x) < 0 se x > 2.

Lei da reta por dois pontos

Problema. Encontre a função cuja reta passa por (-1, 4) e (2, -2).

Calcule a.
a = [-2 - 4]/[2 - (-1)] = -6/3 = -2.
Use um ponto para achar b.
4 = -2 · (-1) + b ⇒ 4 = 2 + b ⇒ b = 2.
Confira.
f(2) = -2 · 2 + 2 = -2.

Conclusão: f(x) = -2x + 2.

Coeficiente com parâmetro

Problema. Para quais valores de m a função f(x) = (m - 1)x + 2 é crescente?

Localize o coeficiente angular.
a = m - 1.
Use a condição de crescimento.
Uma função afim é crescente quando a > 0.
Resolva a desigualdade.
m - 1 > 0 ⇒ m > 1.

Conclusão: a função é crescente para m > 1, constante para m = 1 e decrescente para m < 1.

Interpretando uma conversão de temperatura

Problema. A conversão de Celsius para Fahrenheit é F(C) = 1,8C + 32. Interprete os coeficientes e calcule F(20).

Interprete a taxa.
Cada aumento de 1 °C corresponde a um aumento de 1,8 °F.
Interprete b.
Quando C = 0, temos F = 32. Aqui b não é uma taxa fixa de cobrança; é a temperatura Fahrenheit correspondente a 0 °C.
Calcule.
F(20) = 1,8 · 20 + 32 = 36 + 32 = 68.

Conclusão: 20 °C correspondem a 68 °F.

Escolhendo entre dois planos

Problema. Com A(x)=20+3x e B(x)=8+5x, qual plano é mais barato para x=4 e para x=10?

Calcule em x = 4.
A(4)=32 e B(4)=28. O plano B é mais barato.
Calcule em x = 10.
A(10)=50 e B(10)=58. O plano A é mais barato.
Relacione ao encontro.
Os preços se igualam em x=6. Antes desse ponto B está abaixo; depois, A está abaixo.

Avançada

20. A função f:ℝ→ℝ, f(x)=ax+b, é bijetora exatamente quando:

A) a≠0B) a=0C) b=0D) b≠0

Gabarito comentado:

1-D: a é o coeficiente de x. 2-C: b=7=f(0). 3-B: 2·2-5=-1. 4-A: x+3=0 fornece x=-3. 5-C: com a≠0, o gráfico é uma reta não vertical.

6-B: a=(10-4)/2=3 e b=4. 7-A: a<0 produz função decrescente. 8-D: o zero é 3 e a reta decresce. 9-C: mesmo a significa mesma inclinação. 10-B: a diferença é 3 e f(0)=5.

11-A: a=2 e b=1. 12-D: 20+3x=8+5x fornece x=6. 13-C: m-2>0. 14-B: ax+b=0 implica x=-b/a. 15-C: a=3, b=1 e f(-1)=-2.

16-A: a=(0-6)/(3-0)=-2 e b=6. 17-D: 4x-1>x+8 implica x>3. 18-B: a variação por h é ah, logo a=5. 19-C: distância não negativa e C(8)=32. 20-A: a≠0 garante reta estritamente crescente ou decrescente e imagem ℝ.