Triângulos são uma das bases mais importantes da geometria plana. Em provas, concursos e vestibulares, eles aparecem em questões de ângulos, lados, área, classificação, cevianas, semelhança, Pitágoras e relações métricas. Nesta aula, você vai aprender a ler um triângulo antes de aplicar fórmulas mais avançadas.
Elementos de um triângulo
Um triângulo é um polígono de três lados. Seus elementos principais são vértices, lados, ângulos internos, ângulos externos e região interna.
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Atenção em prova: antes de usar fórmula, observe o tipo de triângulo, os lados, os ângulos e as informações marcadas na figura. Muitas questões de provas, concursos e vestibulares são resolvidas apenas com soma dos ângulos, desigualdade triangular ou identificação correta de altura, mediana e bissetriz.
Notação comum
Vértices A, B e C
Lados a = BC, b = AC, c = AB
Ângulos A, B e C ficam opostos aos lados a, b e c
Em um triângulo ABC, o lado que fica em frente ao vértice A costuma ser chamado de a. O lado em frente ao vértice B costuma ser chamado de b. O lado em frente ao vértice C costuma ser chamado de c.
Isso ajuda porque, em geometria, lado e ângulo opostos têm relação: o maior lado fica oposto ao maior ângulo, e o menor lado fica oposto ao menor ângulo.
No triângulo ABC, cada lado recebe o nome do vértice oposto. A altura h precisa formar 90° com a base escolhida.
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Leitura de prova: se a questão disser que um lado é maior que outro, desconfie também dos ângulos opostos. Em triângulos, o maior lado fica sempre em frente ao maior ângulo. Isso pode aparecer em questões de comparação, classificação e existência.
Classificação dos triângulos
Classificar o triângulo ajuda a escolher a ferramenta certa. Um mesmo triângulo pode receber dois nomes ao mesmo tempo: um pela medida dos lados e outro pela medida dos ângulos.
Por exemplo: um triângulo pode ser isósceles e retângulo ao mesmo tempo, se tiver dois lados iguais e um ângulo de 90°.
Critério
Tipo
Característica
Lados
Equilátero
três lados iguais e três ângulos de 60°
Lados
Isósceles
pelo menos dois lados iguais e dois ângulos da base iguais
Lados
Escaleno
três lados diferentes
Ângulos
Acutângulo
três ângulos agudos
Ângulos
Retângulo
um ângulo de 90°
Ângulos
Obtusângulo
um ângulo maior que 90°
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Pegadinha comum: equilátero sempre é acutângulo, porque seus três ângulos medem 60°. Mas nem todo acutângulo é equilátero.
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Outra pegadinha: isósceles não significa obrigatoriamente equilátero. Todo equilátero é isósceles, mas nem todo isósceles é equilátero.
A classificação por lados olha igualdade ou diferença de medidas. O mesmo triângulo ainda pode ser classificado pelos ângulos.
Condição de existência
Nem todo trio de segmentos forma um triângulo. Para existir triângulo, cada lado precisa ser menor que a soma dos outros dois.
Desigualdade triangular
Condição completa a < b + c, b < a + c e c < a + b
Atalho de prova maior lado < soma dos outros dois
Com lado variável |a - b| < x < a + b
Em questões de prova, você não precisa testar as três desigualdades se já identificar o maior lado. Basta verificar se o maior lado é menor que a soma dos outros dois.
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Cuidado: se o maior lado for igual à soma dos outros dois, não forma triângulo. Os segmentos ficam alinhados.
Exemplo negativo
Os segmentos 4 cm, 7 cm e 12 cm formam um triângulo?
1O maior lado é 12.
2Some os outros dois: 4 + 7 = 11.
Não forma triângulo, pois 12 não é menor que 11.
Exemplo positivo
Os segmentos 5 cm, 7 cm e 10 cm formam triângulo?
1Maior lado: 10.
2Soma dos outros dois: 5 + 7 = 12.
Como 10 < 12, forma triângulo.
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provas mais diretas: esse tipo de questão testa atenção. Três medidas quaisquer não formam triângulo automaticamente.
A condição de existência compara o maior lado com a soma dos outros dois. Essa leitura evita testar desigualdades sem necessidade.
Ângulos do triângulo
Soma dos ângulos internos
A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre 180°.
Soma interna
A + B + C = 180°
Exemplo guiado
Num triângulo, dois ângulos medem 48° e 67°. Calcule o terceiro.
1Use a soma: 48° + 67° + x = 180°.
2115° + x = 180°.
x = 65°.
Ângulo externo
Ângulo externo é o ângulo formado quando prolongamos um dos lados do triângulo. Ele é igual à soma dos dois ângulos internos afastados.
O ângulo externo aparece quando prolongamos um lado. Ele é igual à soma dos dois ângulos internos afastados.
Ângulo externo
e = soma dos dois internos afastados
Também vale: interno do mesmo vértice + externo = 180°.
Exemplo rápido
Se os dois ângulos internos afastados medem 50° e 70°, então o ângulo externo mede:
e = 50° + 70° = 120°.
Modelo de prova
Em um triângulo, dois ângulos internos afastados medem 42° e 58°. Calcule o ângulo externo no terceiro vértice.
1Use e = 42° + 58°.
e = 100°.
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Prova: a banca pode desenhar o ângulo externo fora do triângulo e não dizer diretamente que ele é externo. Você precisa reconhecer pela figura.
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Pegadinha: não some o ângulo externo com os dois internos afastados. O ângulo externo já é igual à soma deles. Além disso, ele é suplementar ao ângulo interno do mesmo vértice.
Triângulo equilátero
No triângulo equilátero, os três lados são iguais e os três ângulos medem 60°.
Relação entre lados e ângulos
O maior lado fica oposto ao maior ângulo; o menor lado fica oposto ao menor ângulo. Isso é muito útil quando a questão pede comparação sem pedir conta pesada.
Cevianas básicas
Ceviana é qualquer segmento que sai de um vértice do triângulo e vai até o lado oposto ou ao prolongamento dele. Algumas cevianas recebem nomes especiais porque aparecem muito em provas.
Ceviana
O que faz
Exemplo mental
Altura
forma 90° com o lado oposto
serve para criar perpendicularidade
Mediana
liga o vértice ao ponto médio do lado oposto
serve para dividir o lado oposto em duas partes iguais
Bissetriz
divide o ângulo do vértice em duas partes iguais
serve para dividir o ângulo ao meio
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Para não confundir: altura lembra 90°. Mediana lembra meio do lado. Bissetriz lembra metade do ângulo.
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Pegadinha comum: a altura nem sempre cai dentro do triângulo. Em triângulo obtusângulo, algumas alturas podem cair fora da região do triângulo.
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Outra pegadinha: mediana não precisa formar 90°. Bissetriz não precisa dividir o lado ao meio. Altura não precisa dividir o lado ao meio.
Altura depende de 90°, mediana depende de ponto médio e bissetriz depende de dividir o ângulo. Não são a mesma coisa.
Área e Fórmula de Heron
Área por base e altura
A fórmula mais importante da área do triângulo é A = b · h / 2. Ela funciona quando você conhece uma base e a altura relativa a essa base.
Base pode ser qualquer lado escolhido. Altura é sempre perpendicular à base escolhida.
A altura usada na área deve ser perpendicular à base escolhida. É isso que justifica dividir o retângulo/paralelogramo equivalente por 2.
Área principal
A = b · h / 2
Exemplo
Um triângulo tem base 12 cm e altura 5 cm. Calcule a área.
A = 12 · 5 / 2 = 30 cm².
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Pegadinha: não use qualquer lado como altura. A altura precisa formar 90° com a base.
Fórmula de Heron
Fórmula extra, nível intermediário: use Heron quando a questão der os três lados do triângulo e não der a altura.
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Prioridade: para provas mais diretas, a área base vezes altura sobre 2 costuma ser mais importante. Heron pode aparecer em vestibulares e questões mais fortes.
Heron
Semiperímetro s = (a + b + c)/2
Área A = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]
O s é o semiperímetro, ou seja, metade do perímetro.
Exemplo clássico
Um triângulo tem lados 13, 14 e 15. Calcule a área.
1Semiperímetro: s = (13 + 14 + 15)/2 = 21.
2Heron: A = √[21(21-13)(21-14)(21-15)].
3A = √(21 · 8 · 7 · 6) = √7056.
4√7056 = 84, porque 84² = 7056.
A = 84.
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Vestibulares: Heron pode aparecer quando a questão fornece três lados como 13, 14 e 15, ou outros ternos que geram área exata. Esse exemplo é clássico porque o triângulo 13, 14 e 15 tem área inteira.
Exercícios por nível
Exercícios básicos
Básico 1 — Existência
Quais medidas podem formar um triângulo?
Básico 2 — Soma dos ângulos
Dois ângulos de um triângulo medem 35° e 80°. Quanto mede o terceiro?
Básico 3 — Classificação
Um triângulo com três lados iguais é:
Exercícios intermediários
Intermediário 1 — Ângulo externo
Em um triângulo ABC, o ângulo externo no vértice C mede 125°. Se o ângulo A mede 55°, calcule o ângulo B.
Intermediário 2 — Lados e ângulos
Em um triângulo, os lados medem 5, 8 e 10. O maior ângulo fica oposto ao lado:
Intermediário 3 — Área
Um triângulo tem base 14 cm e altura 6 cm. Sua área é:
Exercícios estilo prova
Prova 1 — Desigualdade triangular
Um triângulo possui lados medindo 6 cm, 8 cm e x cm. Para que ele exista, x deve satisfazer:
Prova 2 — Cevianas
Em um triângulo ABC, o segmento AM liga o vértice A ao ponto médio de BC. Esse segmento é chamado de:
Exercícios avançados
Avançado — Heron
Um triângulo tem lados 13, 14 e 15. Sua área é:
Resumo para prova
Triângulo é polígono de 3 lados.
A soma dos ângulos internos é 180°.
O ângulo externo é igual à soma dos dois internos afastados.
Para existir triângulo, o maior lado deve ser menor que a soma dos outros dois.
Equilátero tem 3 lados iguais e 3 ângulos de 60°.
Isósceles tem pelo menos 2 lados iguais e dois ângulos da base iguais.