Corpos Redondos e Troncos

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Cilindro Reto

Gerado pela rotação de um retângulo em torno de um de seus lados

Propriedades

Duas bases circulares paralelas e congruentes de raio r.
Superfície lateral: retângulo enrolado.
Cilindro equilátero: caso especial em que a geratriz (altura) é igual ao diâmetro: h = 2r. Nesse caso a área lateral = área das duas bases.
Geratriz g = h (no cilindro reto).

Fórmulas (raio r, altura h)

Área lateralA_lat = 2πrh

Área totalA_tot = 2πr(r+h)

VolumeV = πr²h

Equiláteroh = 2r → A_lat = 2A_base

Exemplo resolvidoMédio

Um cilindro equilátero tem raio r = 5 cm. Calcule a área total e o volume.

1

Equilátero → h = 2r = 10 cm.

2

A_tot = 2πr(r+h) = 2π·5·15 = 150π cm²

3

V = πr²h = π·25·10 = 250π cm³

A_tot = 150π cm² | V = 250π cm³

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Cone Reto

Gerado pela rotação de um triângulo retângulo em torno do cateto

Propriedades

Base circular de raio r, ápice V, altura h.
Geratriz: g = √(r²+h²).
A superfície lateral desenrolada é um setor circular de raio g e arco 2πr.
Ângulo do setor: θ = 2πr/g radianos.
Cone equilátero: g = 2r (geratriz = diâmetro).

Fórmulas (raio r, altura h, geratriz g)

Geratrizg = √(r²+h²)

Área lateralA_lat = πrg

Área totalA_tot = πr(r+g)

Volume V = πr²h3

Área lateral — dedução

A lateral do cone é um setor circular de raio g e arco igual à circunferência da base (2πr).

▶ Ver demonstração

1

Ao desenrolar a lateral, obtemos um setor de raio g. A proporção do setor em relação ao círculo completo é o arco dividido pela circunferência total: α/2π = 2πr/(2πg) = r/g.

2

Área do setor = proporção × área do círculo: A_lat = (r/g)·πg² = πrg. ■

Exemplo resolvidoDifícil

Um cone tem área total 96π cm² e raio 6 cm. Calcule a geratriz, a altura e o volume.

1

A_tot = πr(r+g) → 96π = 6π(6+g) → 16 = 6+g → g = 10 cm

2

h = √(g²−r²) = √(100−36) = √64 = 8 cm

3

V = πr²h/3 = π·36·8/3 = 96π cm³

g=10 cm | h=8 cm | V=96π cm³

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Esfera

Gerada pela rotação de um semicírculo em torno do diâmetro

Propriedades

Conjunto de pontos a distância r do centro O.
Todo corte plano gera uma circunferência.
Seção pelo centro: círculo máximo.
Fórmulas de Arquimedes: esfera inscrita num cilindro de mesma altura e raio tem A e V iguais a 2/3 do cilindro.

Fórmulas (raio r)

ÁreaA = 4πr²

Volume V = 4πr³3

Calota — áreaA_c = 2πrh

Calota — vol. V_c = πh²(3r−h)3

Resultado de Arquimedes

A área da superfície de uma esfera de raio r é igual à área lateral do cilindro circunscrito (mesmo raio, altura = diâmetro).

Cilindro circunscrito: r, h = 2r. A_lat_cil = 2πr·2r = 4πr² = A_esfera.

Exemplo resolvidoMédio

Uma esfera tem área de superfície 100π cm². Calcule o raio e o volume.

1

4πr² = 100π → r² = 25 → r = 5 cm

2

V = 4πr³/3 = 4π·125/3 = 500π/3 cm³

r = 5 cm | V = 500π/3 cm³

Fuso e cunha esférica

Fuso Esférico

O fuso esférico é a porção da esfera compreendida entre dois semicírculos máximos que formam um ângulo diedro θ (em radianos). É a generalização do "gomo de laranja".

Área do fuso: proporcional ao ângulo — como θ/2π da área total da esfera.

Fuso e cunha esférica (ângulo θ em radianos, ou α em graus)

Área do fuso A_fuso = 2r²θ (θ em rad) ou A = α·πr²90 (α em graus)

Volume da cunha V_cunha = 2r³θ3 ou V = 2α·πr³270

Proporção: fuso e cunha são frações da esfera proporcionais ao ângulo diedro θ. Para θ = 2π (volta completa), recuperamos A = 4πr² e V = 4πr³/3.

Exemplo resolvidoMédio

Uma esfera de raio 3 cm tem um fuso de ângulo 60°. Calcule a área do fuso e o volume da cunha correspondente.

1

A_fuso = 60·π·9/90 = 540π/90 = 6π cm²

2

V_cunha = 2·60·π·27/270 = 3240π/270 = 12π cm³

A_fuso = 6π cm² | V_cunha = 12π cm³

Tronco de pirâmide regular

Definição — Tronco de Pirâmide

O tronco de pirâmide é a parte da pirâmide compreendida entre a base e um plano paralelo à base (que corta todas as arestas laterais). As duas bases são polígonos semelhantes.

Base maior: perímetro P, área A_1. Base menor: perímetro p, área A_2. Apótema do tronco: a_t (altura da face trapezoidal).

Tronco de pirâmide regular

Área lateral A_lat = (P+p)·a_t2

Área totalA_tot = A_lat + A_1 + A_2

Volume V = H3·(A_1 + A_2 + √(A_1·A_2))

Fórmula do volume — prismoide

O volume do tronco de pirâmide não é simplesmente a média das áreas vezes a altura — é preciso incluir a média geométrica.

▶ Ver demonstração

1

A pirâmide completa de altura H_total com base A_1 tem volume V_grande = A_1·H_total/3.

2

A pirâmide cortada (acima do tronco) tem base A_2 e altura H_total − H. Como as bases são semelhantes com razão k, temos A_2 = k²·A_1 e H_total − H = k·H_total.

3

V_tronco = V_grande − V_pequena = A_1·H_total/3 − A_2·(H_total−H)/3. Substituindo k e simplificando: V = H·(A_1+A_2+√(A_1·A_2))/3. ■

Exemplo resolvidoDifícil

Um tronco de pirâmide de base quadrada tem bases com lados 6 cm e 4 cm, e altura 3 cm. Calcule o volume.

1

A_1 = 36 cm², A_2 = 16 cm²

2

√(A_1·A_2) = √(36·16) = √576 = 24 cm²

3

V = (3/3)·(36+16+24) = 1·76 = 76 cm³

V = 76 cm³

Tronco de cone reto

Definição — Tronco de Cone

O tronco de cone é obtido cortando um cone com um plano paralelo à base. Tem duas bases circulares de raios R (maior) e r (menor), altura h e geratriz g.

Geratriz: g = √(h² + (R−r)²)

Tronco de cone (raios R e r, altura h, geratriz g)

Geratrizg = √(h²+(R−r)²)

Área lateralA_lat = π(R+r)·g

Área totalA_tot = π(R+r)g + π(R²+r²)

Volume V = πh3·(R²+r²+Rr)

Exemplo resolvidoDifícil

Um tronco de cone tem R = 6 cm, r = 3 cm e h = 4 cm. Calcule a geratriz, a área lateral e o volume.

1

g = √(16+(6−3)²) = √(16+9) = 5 cm

2

A_lat = π(6+3)·5 = 45π cm²

3

V = π·4·(36+9+18)/3 = 4π·63/3 = 84π cm³

g=5 cm | A_lat=45π cm² | V=84π cm³

Tabela de corpos redondos

Sólido	Área lateral	Área total	Volume
Cilindro	`2πrh`	`2πr(r+h)`	`πr²h`
Cone	`πrg`	`πr(r+g)`	`πr²h/3`
Esfera	—	`4πr²`	`4πr³/3`
Calota esférica	`2πrh`	—	`πh²(3r−h)/3`
Tronco de cone	`π(R+r)g`	`π(R+r)g+π(R²+r²)`	`πh(R²+r²+Rr)/3`
Tronco de pirâmide	`(P+p)·a_t/2`	+A₁+A₂	`H(A₁+A₂+√(A₁A₂))/3`

Exercícios

Exercício 1 — Cilindro

Um cilindro tem r = 3 cm e h = 8 cm. Qual é seu volume?

Exercício 2 — Cone

Um cone tem r = 4 e g = 5 cm. Qual é sua área lateral?

Exercício 3 — Esfera

O volume de uma esfera é 36π cm³. Qual é a sua área de superfície?

Exercício 4 — Tronco de cone

Tronco de cone: R=5, r=2, h=4 cm. Qual é a geratriz?