Cilindro Reto
Gerado pela rotacao de um retângulo em torno de um de seus lados
Propriedades
- Duas bases circulares paralelas e congruentes de raio r.
- Superficie lateral: retângulo enrolado.
- Cilindro equilatero: caso especial em que a geratriz (altura) é igual ao diâmetro: h = 2r. Nesse caso a área lateral = área das duas bases.
- Geratriz g = h (no cilindro reto).
Fórmulas (raio r, altura h)
área lateralA_lat = 2prh
área totalA_tot = 2pr(r+h)
VolumeV = pr^2h
Equilateroh = 2r -> A_lat = 2A_base
Exemplo resolvidoMedio
Um cilindro equilatero tem raio r = 5 cm. Calcule a área total e o volume.
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Equilatero -> h = 2r = 10 cm.
2
A_tot = 2pr(r+h) = 2p*5*15 = 150p cm^23
V = pr^2h = p*25*10 = 250p cm^3A_tot = 150p cm^2 | V = 250p cm^3
Cone
Cone Reto
Gerado pela rotacao de um triângulo retângulo em torno do cateto
Propriedades
- Base circular de raio r, ápice V, altura h.
- Geratriz:
g = sqrt(r^2+h^2). - A superficie lateral desenrolada é um setor circular de raio g e arco 2pr.
- ângulo do setor:
? = 2pr/gradianos. - Cone equilatero: g = 2r (geratriz = diâmetro).
Fórmulas (raio r, altura h, geratriz g)
Geratrizg = sqrt(r^2+h^2)
área lateralA_lat = prg
área totalA_tot = pr(r+g)
Volume
V = pr^2h3
área lateral - deducao
A lateral do cone é um setor circular de raio g e arco igual a circunferência da base (2pr).
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Ao desenrolar a lateral, obtemos um setor de raio g. A proporção do setor em relação ao círculo completo e o arco dividido pela circunferência total:
a/2p = 2pr/(2pg) = r/g.2
área do setor = proporção da área do círculo:
A_lat = (r/g)*p*g^2 = prg. [fim]Exemplo resolvidoDifícil
Um cone tem área total 96p cm^2 e raio 6 cm. Calcule a geratriz, a altura e o volume.
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A_tot = pr(r+g) -> 96p = 6p(6+g) -> 16 = 6+g -> g = 10 cm2
h = sqrt(g^2-r^2) = sqrt(100-36) = sqrt(64) = 8 cm3
V = pr^2h/3 = p*36*8/3 = 96p cm^3g=10 cm | h=8 cm | V=96p cm^3
Seções meridianas
Seções meridianas e semelhanca
Corte pelo eixo
Quando o plano de corte contem o eixo do sólido, ele produz a chamada seção meridiana. Esse corte traduz o problema espacial para uma figura plana bem conhecida.
| Sólido | Seção meridiana | Leitura util |
|---|---|---|
| Cilindro reto | retângulo de lados 2r e h | diagonal da seção = √(4r2+h2) |
| Cone reto | triângulo isosceles de base 2r e lados g | altura do triângulo e a altura do cone |
| Tronco de cone | trapezio isosceles | a geratriz vira o lado obliquo do trapezio |
Corte paralelo a base no cone
Se um plano corta um cone paralelamente a base, o cone menor gerado no topo e semelhante ao cone original.
Assim, todas as razões lineares são iguais e áreas/volumes seguem, respectivamente, o quadrado e o cubo dessa razão.
Exemplo resolvidoMedio
Um cilindro reto tem raio 4 cm e altura 6 cm. Calcule a diagonal da seção meridiana.
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A seção meridiana do cilindro é um retângulo de lados
2r = 8 e h = 6.2
Pelo Teorema de Pitagoras:
d = √(82 + 62) = √100 = 10 cm.Diagonal da seção = 10 cm
Esfera
Esfera
Gerada pela rotacao de um semicirculo em torno do diâmetro
Propriedades
- Conjunto de pontos a distância r do centro O.
- Todo corte plano gera uma circunferência.
- Seção pelo centro: círculo máximo.
- Fórmulas de Arquimedes: esfera inscrita num cilindro de mesma altura e raio tem A e V iguais a 2/3 do cilindro.
Fórmulas (raio r)
áreaA = 4pr^2
Volume
V = 4pr^33
Calota - áreaA_c = 2prh
Calota - vol.
V_c = ph^2(3r-h)3
Resultado de Arquimedes
A área da superficie de uma esfera de raio r é igual a área lateral do cilindro circunscrito (mesmo raio, altura = diâmetro).
Cilindro circunscrito: r, h = 2r. A_lat_cil = 2pr*2r = 4pr^2 = A_esfera.
Exemplo resolvidoMedio
Uma esfera tem área de superficie 100p cm^2. Calcule o raio e o volume.
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4pr^2 = 100p -> r^2 = 25 -> r = 5 cm2
V = 4pr^3/3 = 4p*125/3 = 500p/3 cm^3r = 5 cm | V = 500p/3 cm^3
Cortes na esfera
Cortes planos, calotas e círculos
Plano secante a esfera
Todo plano que corta a esfera produz um círculo. Se o plano passa pelo centro, o corte é um círculo máximo. Se não passa, o raio do círculo diminui.
Corte plano a distância d do centro
Raio do corterho = √(r2 - d2)
Área do corteA = π(r2 - d2)
Caso máximod = 0 → rho = r
Relação pitagorica
Se o plano secante esta a distância
d do centro de uma esfera de raio r, então o raio rho do círculo de seção satisfaz rho2 + d2 = r2.Essa relação aparece o tempo todo em problemas de calota, esfera inscrita e cortes paralelos.
Exemplo resolvidoDifícil
Uma esfera de raio 10 cm e cortada por um plano a 6 cm do centro. Determine o raio e a área do círculo de seção.
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Use
rho2 = r2 - d2 = 102 - 62 = 64.2
Logo
rho = 8 cm.3
Área do corte:
A = πrho2 = 64π cm2.rho = 8 cm | A = 64π cm2
Fuso e cunha esferica
Fuso e cunha esferica
Fuso Esferico
O fuso esferico e a porcao da esfera compreendida entre dois semicirculos maximos que formam um ângulo diedro theta (em radianos). E a generalizacao do "gomo de laranja".
área do fuso: proporcional ao ângulo - como theta/2p da área total da esfera.
Fuso e cunha esferica (ângulo theta em radianos, ou a em graus)
área do fuso
A_fuso = 2r^2*theta (theta em rad) ou A = a*pi*r^290 (a em graus)
Volume da cunha
V_cunha = 2r^3*theta3 ou V = 2a*pi*r^3270
Proporção: fuso e cunha são frações da esfera proporcionais ao ângulo diedro theta. Para theta = 2p (volta completa), recuperamos A = 4pr^2 e V = 4pr^3/3.
Exemplo resolvidoMedio
Uma esfera de raio 3 cm tem um fuso de ângulo 60 graus. Calcule a área do fuso e o volume da cunha correspondente.
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A_fuso = 60*pi*9/90 = 540p/90 = 6p cm^22
V_cunha = 2*60*pi*27/270 = 3240p/270 = 12p cm^3A_fuso = 6p cm^2 | V_cunha = 12p cm^3
Troncos
Tronco de piramide regular
Definição - Tronco de Piramide
O tronco de piramide e a parte da piramide compreendida entre a base é um plano paralelo a base (que corta todas as arestas laterais). As duas bases sao polígonos semelhantes.
Base maior: perímetro P, área A_1. Base menor: perímetro p, área A_2. Apotema do tronco: a_t (altura da face trapezoidal).
Tronco de piramide regular
área lateral
A_lat = (P+p)*a_t2
área totalA_tot = A_lat + A_1 + A_2
Volume
V = H3*(A_1 + A_2 + sqrt(A_1*A_2))
Fórmula do volume - prismoide
O volume do tronco de piramide não e simplesmente a média das áreas vezes a altura - e preciso incluir a média geometrica.
> Ver demonstração
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A piramide completa de altura H_total com base A_1 tem volume V_grande = A_1*H_total/3.
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A piramide cortada (acima do tronco) tem base A_2 e altura H_total - H. Como as bases sao semelhantes com razão k, temos A_2 = k^2*A_1 e H_total - H = k*H_total.
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V_tronco = V_grande - V_pequena = A_1*H_total/3 - A_2*(H_total-H)/3. Substituindo k e simplificando:
V = H*(A_1+A_2+sqrt(A_1*A_2))/3. [fim]Exemplo resolvidoDifícil
Um tronco de piramide de base quadrada tem bases com lados 6 cm e 4 cm, e altura 3 cm. Calcule o volume.
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A_1 = 36 cm^2, A_2 = 16 cm^22
sqrt(A_1*A_2) = sqrt(36*16) = sqrt(576) = 24 cm^23
V = (3/3)*(36+16+24) = 1*76 = 76 cm^3V = 76 cm^3
Tronco de cone reto
Definição - Tronco de Cone
O tronco de cone e obtido cortando um cone com um plano paralelo a base. Tem duas bases circulares de raios R (maior) e r (menor), altura h e geratriz g.
Geratriz: g = sqrt(h^2 + (R-r)^2)
Tronco de cone (raios R e r, altura h, geratriz g)
Geratrizg = sqrt(h^2+(R-r)^2)
área lateralA_lat = p(R+r)*g
área totalA_tot = p(R+r)g + p(R^2+r^2)
Volume
V = ph3*(R^2+r^2+Rr)
Exemplo resolvidoDifícil
Um tronco de cone tem R = 6 cm, r = 3 cm e h = 4 cm. Calcule a geratriz, a área lateral e o volume.
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g = sqrt(16+(6-3)^2) = sqrt(16+9) = 5 cm2
A_lat = p(6+3)*5 = 45p cm^23
V = p*4*(36+9+18)/3 = 4p*63/3 = 84p cm^3g=5 cm | A_lat=45p cm^2 | V=84p cm^3
Tabela geral
Tabela de corpos redondos
| Sólido | área lateral | área total | Volume |
|---|---|---|---|
| Cilindro | 2prh | 2pr(r+h) | pr^2h |
| Cone | prg | pr(r+g) | pr^2h/3 |
| Esfera | - | 4pr^2 | 4pr^3/3 |
| Calota esferica | 2prh | - | ph^2(3r-h)/3 |
| Tronco de cone | p(R+r)g | p(R+r)g+p(R^2+r^2) | ph(R^2+r^2+Rr)/3 |
| Tronco de piramide | (P+p)*a_t/2 | A_lat + A_1 + A_2 | H(A_1+A_2+sqrt(A_1A_2))/3 |
Exercícios
Exercícios
Exercício 1 - Cilindro
Um cilindro tem r = 3 cm e h = 8 cm. Qual e seu volume?
Exercício 2 - Cone
Um cone tem r = 4 e g = 5 cm. Qual e sua área lateral?
Exercício 3 - Esfera
O volume de uma esfera e 36p cm^3. Qual é a sua área de superficie?
Exercício 4 - Tronco de cone
Tronco de cone: R=5, r=2, h=4 cm. Qual é a geratriz?