Prismas e Pirâmides

Prismas — definições

Definição — Prisma

Um prisma é um sólido limitado por duas bases congruentes e paralelas (polígonos) e por faces laterais que são paralelogramos.

Reto: as arestas laterais são perpendiculares às bases. Oblíquo: as arestas laterais são inclinadas em relação às bases. Regular: é reto e a base é um polígono regular.

Fórmulas gerais do prisma

Área lateralA_lat = P_base · h

Área totalA_tot = A_lat + 2 · A_base

VolumeV = A_base · h

Prisma oblíquo: Para o volume, usa-se a altura h (distância entre as bases), não o comprimento da aresta lateral. A fórmula V = A_base · h vale para qualquer prisma, reto ou oblíquo — isso é uma consequência do Princípio de Cavalieri.

🎲

Cubo

Prisma reto de base quadrada com todas as arestas iguais

Propriedades

6 faces quadradas congruentes.
12 arestas de mesmo comprimento a.
8 vértices.
Diagonal da face: d_f = a√2
Diagonal espacial: d = a√3
Toda face é perpendicular às quatro faces adjacentes.

Fórmulas (aresta a)

Área lateralA_lat = 4a²

Área totalA_tot = 6a²

VolumeV = a³

Diag. faced_f = a√2

Diag. espaciald = a√3

Demonstração — diagonal espacial d = a√3

A diagonal espacial do cubo liga dois vértices opostos e atravessa o interior do sólido.

▶ Ver demonstração

1

Diagonal da face da base: d_f = √(a²+a²) = a√2

2

A diagonal espacial d é a hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos d_f (diagonal da base) e a (altura do cubo).

3

d = √(d_f² + a²) = √(2a² + a²) = √(3a²) = a√3. ■

Diagonal espacial d = a√3 e diagonal da face d_f = a√2

Exemplo resolvidoMédio

A diagonal espacial de um cubo mede 6√3 cm. Calcule a aresta, a área total e o volume.

1

d = a√3 → a = d/√3 = 6√3/√3 = 6 cm

2

A_tot = 6a² = 6·36 = 216 cm²

3

V = a³ = 216 cm³

a=6 cm | A_tot=216 cm² | V=216 cm³

📦

Paralelepípedo Reto

Caixa retangular — base retangular, faces laterais retângulos

Propriedades

6 faces retangulares (3 pares opostos congruentes).
Dimensões: comprimento a, largura b, altura c.
Diagonal: d = √(a²+b²+c²)
12 arestas (4 de cada comprimento).
O cubo é um caso especial com a = b = c.

Fórmulas (a × b × c)

Área totalA = 2(ab+bc+ca)

VolumeV = a·b·c

Diagonald = √(a²+b²+c²)

Demonstração — diagonal d = √(a²+b²+c²)

A diagonal espacial do paralelepípedo de dimensões a, b, c.

▶ Ver demonstração

1

Diagonal da base: d_base = √(a²+b²)

2

A diagonal espacial é a hipotenusa do triângulo retângulo com catetos d_base e c (altura).

3

d = √(d_base²+c²) = √(a²+b²+c²). ■

Exemplo resolvidoDifícil

Um paralelepípedo tem dimensões 3, 4 e 5 cm. Calcule a diagonal espacial, a área total e o volume.

1

d = √(9+16+25) = √50 = 5√2 cm

2

A = 2(3·4 + 4·5 + 5·3) = 2(12+20+15) = 2·47 = 94 cm²

3

V = 3·4·5 = 60 cm³

d=5√2 cm | A=94 cm² | V=60 cm³

Prisma regular genérico

Prisma regular de base n-gonal

Base é um polígono regular de n lados com lado ℓ e apótema a. A altura do prisma é h.

Prisma regular — base n-gonal (lado ℓ, apótema a, altura h)

Área da base A_b = n·ℓ·a2 = P·a2

Área lateralA_lat = n·ℓ·h = P·h

Área totalA_tot = A_lat + 2·A_b

VolumeV = A_b · h

Exemplo resolvidoDifícil

Um prisma reto tem base hexagonal regular com lado 4 cm e altura 10 cm. Calcule a área total e o volume.

1

Apótema do hexágono: a = ℓ·√3/2 = 4·√3/2 = 2√3 cm

2

Área da base: A_b = P·a/2 = (6·4)·2√3/2 = 24√3 cm²

3

Área lateral: A_lat = P·h = 24·10 = 240 cm²

4

A_tot = 240 + 2·24√3 = 240 + 48√3 ≈ 323,1 cm²

5

V = A_b·h = 24√3·10 = 240√3 ≈ 415,7 cm³

A_tot = (240+48√3) cm² | V = 240√3 cm³

Pirâmides — definições

Definição — Pirâmide

Uma pirâmide é um sólido limitado por uma base poligonal e por faces laterais triangulares que convergem num vértice único (ápice).

Regular: a base é um polígono regular e o ápice projeta-se no centro da base. As faces laterais são triângulos isósceles congruentes.

Apótema da pirâmide: altura de qualquer face lateral (triângulo isósceles). Apótema da base: raio da circunferência inscrita na base.

Pirâmide regular — base n-gonal, apótema da pirâmide A_p, altura H

Área lateral A_lat = P · A_p2

Área totalA_tot = A_lat + A_base

Volume V = A_base · H3

Demonstração — V = A_base·H/3

O volume de qualquer pirâmide é um terço do volume do prisma de mesma base e mesma altura.

▶ Ver demonstração (decomposição)

1

Um cubo pode ser decomposto em 3 pirâmides de base quadrada congruentes (decomposição de Euclides).

2

Volume do cubo = a³ = 3 · V_pirâmide → V_pirâmide = a³/3 = (a²·a)/3 = A_base·H/3.

3

Para pirâmide de base qualquer: pelo Princípio de Cavalieri, a fórmula vale para qualquer base poligonal e qualquer altura. ■

Exemplo resolvidoMédio

Uma pirâmide regular de base quadrada tem lado da base 6 cm e altura 4 cm. Calcule o apótema da pirâmide, a área total e o volume.

1

Apótema da base (quadrado): a_b = ℓ/2 = 3 cm

2

Apótema da pirâmide (hipotenusa do triângulo do corte central): A_p = √(H²+a_b²) = √(16+9) = 5 cm

3

A_lat = P·A_p/2 = 24·5/2 = 60 cm²

4

A_tot = 60 + 36 = 96 cm²

5

V = A_b·H/3 = 36·4/3 = 48 cm³

A_p=5 cm | A_tot=96 cm² | V=48 cm³

Tetraedro Regular

Definição — Tetraedro Regular

O tetraedro regular é a pirâmide de base triangular equilátera cujas quatro faces são triângulos equiláteros congruentes. É um dos cinco sólidos platônicos.

Todas as arestas têm o mesmo comprimento a. Tem 4 faces, 6 arestas, 4 vértices.

Tetraedro Regular — aresta a

Área de uma face A_face = a²√34

Área total A_tot = a²√3

Altura H = a·√63 = a√63

Volume V = a³√212

Raio circunscrito R = a√64

Raio inscrito r = a√612 = R3

Demonstração — Altura H = a√6/3

Altura do tetraedro regular de aresta a em função de a.

▶ Ver demonstração

1

A base é um triângulo equilátero de aresta a. O circuncentro da base dista R_b = a/√3 = a√3/3 de cada vértice.

2

A aresta lateral (de ápice a vértice da base) tem comprimento a. Pelo Teorema de Pitágoras no triângulo do ápice: H² + R_b² = a²

3

H² = a² − a²/3 = 2a²/3 → H = a√(2/3) = a√6/3. ■

Exemplo resolvidoDifícil

Um tetraedro regular tem aresta 6 cm. Calcule a altura, o volume e o raio da esfera inscrita.

1

H = 6√6/3 = 2√6 ≈ 4,899 cm

2

Área da base: A_b = 36√3/4 = 9√3 cm²

3

V = A_b·H/3 = 9√3·2√6/3 = 6√18 = 18√2 ≈ 25,46 cm³

4

r = R/3 = (6√6/4)/3 = 6√6/12 = √6/2 ≈ 1,225 cm

H=2√6 cm | V=18√2 cm³ | r=√6/2 cm

Princípio de Cavalieri

Se dois sólidos têm a mesma altura e se, para toda altura h, as secções transversais paralelas à base têm áreas iguais, então os dois sólidos têm o mesmo volume.

Em outras palavras: volume depende apenas da área de cada corte horizontal, não da forma do sólido.

Aplicação imediata: Um prisma oblíquo e um prisma reto com mesma base e mesma altura têm igual volume V = A_base · h. Isso justifica usar a altura (distância entre bases) e não o comprimento da aresta lateral.

Sólido	Área total	Volume
Cubo (aresta a)	`6a²`	`a³`
Paralelepípedo (a×b×c)	`2(ab+bc+ca)`	`abc`
Prisma regular (P, a, h)	`P·h + P·a`	`P·a·h/2`
Pirâmide regular (A_b, A_p, H)	`P·A_p/2 + A_b`	`A_b·H/3`
Tetraedro regular (aresta a)	`a²√3`	`a³√2/12`

Exercícios

Exercício 1 — Cubo

Um cubo tem área total 96 cm². Qual é o seu volume?

Exercício 2 — Paralelepípedo

Qual é a diagonal espacial de um paralelepípedo com dimensões 2, 6 e 9 cm?

Exercício 3 — Pirâmide

Uma pirâmide de base quadrada 10×10 cm tem volume 500 cm³. Qual é sua altura?

Exercício 4 — Tetraedro

Num tetraedro regular de aresta a, a razão R/r (raio circunscrito / raio inscrito) vale: