Atenção em prova: questões de prismas e pirâmides costumam cobrar área total, área lateral, volume, diagonal, altura, apótema e interpretação de figuras. Antes de substituir valores, descubra qual é a base, qual é a altura e quais medidas pertencem ao sólido.
Prismas - definições
Ideia principal
Pense no prisma como um sólido que tem duas bases iguais e paralelas. As faces laterais ligam uma base à outra.
A base é o polígono que aparece em cima e embaixo. A altura é a distância perpendicular entre as bases. A aresta lateral liga vértices correspondentes das bases. A face lateral é a região lateral do sólido.
Tipos de prisma
Prisma reto: as arestas laterais são perpendiculares às bases.
Prisma oblíquo: as arestas laterais são inclinadas em relação às bases.
Prisma regular: é um prisma reto cuja base é um polígono regular.
Fórmulas gerais do prisma
Área lateralA_lat = P_base · h
Área totalA_tot = A_lat + 2 · A_base
VolumeV = A_base · h
Como usar: use
A_lat = P_base · h quando o prisma for reto e você precisar da área das faces laterais. Use A_tot = A_lat + 2A_base porque o prisma tem duas bases. Use V = A_base · h para qualquer prisma, reto ou oblíquo, desde que h seja a altura perpendicular entre as bases.
Pegadinha comum: em prisma oblíquo, a altura não é a aresta lateral. A altura é sempre a distância perpendicular entre as bases.
Cubo
Cubo
O cubo é um caso especial de prisma. Todas as faces são quadrados e todas as arestas têm a mesma medida. Ele aparece muito em problemas de área, volume, diagonal da face e diagonal espacial.
Cubo
Prisma reto de base quadrada com todas as arestas iguais
Propriedades
- 6 faces quadradas congruentes.
- 12 arestas de mesmo comprimento
a. - 8 vértices.
- Diagonal da face:
d_f = a√2. - Diagonal espacial:
d = a√3. - Toda face é perpendicular às quatro faces adjacentes.
Fórmulas (aresta a)
Área lateralA_lat = 4a²
Área totalA_tot = 6a²
VolumeV = a³
Diag. faced_f = a√2
Diag. espaciald = a√3
Demonstração - diagonal espacial
A diagonal espacial do cubo de aresta
▶ Ver demonstração
a mede a√3.1
A diagonal da face é calculada pelo Teorema de Pitágoras:
d_f² = a² + a², então d_f = a√2.2
A diagonal espacial forma um triângulo retângulo com a diagonal da base e a altura do cubo:
d² = d_f² + a².3
Substituindo:
d² = (a√2)² + a² = 2a² + a² = 3a².4
Logo,
d = a√3.□Pegadinha comum: não confunda diagonal da face com diagonal espacial. A diagonal da face é
a√2. A diagonal espacial é a√3.Exemplo resolvidoBásico
Um cubo tem diagonal espacial igual a
6√3 cm. Determine sua aresta, área total e volume.1
No cubo,
d = a√3.2
a√3 = 6√3, então a = 6 cm.3
A_tot = 6a² = 6 · 6² = 216 cm².4
V = a³ = 6³ = 216 cm³.Aresta = 6 cm | A_tot = 216 cm² | V = 216 cm³
Paralelepípedo reto
Paralelepípedo reto é como uma caixa retangular. Ele possui três medidas principais: comprimento, largura e altura. O cubo é um paralelepípedo especial em que as três dimensões são iguais.
Paralelepípedo de dimensões a, b e c
Área totalA_tot = 2(ab + bc + ca)
VolumeV = abc
Diagonald = √(a² + b² + c²)
Demonstração - diagonal
A diagonal espacial do paralelepípedo de dimensões
▶ Ver demonstração
a, b e c é d = √(a² + b² + c²).
Primeiro encontramos a diagonal da base usando Pitágoras:
d_b² = a² + b². Depois usamos Pitágoras novamente com a altura: d² = d_b² + c². Logo, d² = a² + b² + c² e d = √(a² + b² + c²).□
Exemplo resolvidoBásico
Um paralelepípedo tem dimensões 3 cm, 4 cm e 5 cm. Calcule a diagonal espacial, a área total e o volume.
1
d = √(3² + 4² + 5²) = √(9 + 16 + 25) = √50 = 5√2 cm.2
A_tot = 2(3·4 + 4·5 + 3·5) = 2(12 + 20 + 15) = 94 cm².3
V = 3 · 4 · 5 = 60 cm³.d = 5√2 cm | A_tot = 94 cm² | V = 60 cm³
Prisma regular genérico
Prisma regular é um prisma reto cuja base é um polígono regular. Por isso, a área da base pode ser calculada usando perímetro e apótema.
Leitura das letras
n é o número de lados da base, l é a medida de cada lado, P é o perímetro da base, a é o apótema da base e h é a altura do prisma.
Não confunda: o apótema da base fica dentro do polígono da base. A altura do prisma liga uma base à outra.
Prisma regular
PerímetroP = n · l
Área da baseA_b = P · a / 2
Área lateralA_lat = P · h
Área totalA_tot = P · h + P · a
VolumeV = P · a · h / 2
Exemplo resolvidoIntermediário
Um prisma reto de base hexagonal regular tem lado 4 cm e altura 10 cm. Calcule a área da base, a área total e o volume.
1
No hexágono regular,
P = 6 · 4 = 24 cm e o apótema vale l√3/2 = 2√3 cm.2
A_b = P · a / 2 = 24 · 2√3 / 2 = 24√3 cm².3
A_lat = P · h = 24 · 10 = 240 cm².4
A_tot = 240 + 2 · 24√3 = 240 + 48√3 ≈ 323,1 cm².5
V = A_b · h = 24√3 · 10 = 240√3 ≈ 415,7 cm³.A_b = 24√3 cm² | A_tot = 240 + 48√3 cm² | V = 240√3 cm³
Diagonais e seções em prismas
As seções ajudam a transformar um problema espacial em uma figura plana. Muitas questões ficam mais simples quando você identifica o retângulo, triângulo ou polígono que aparece dentro do sólido.
| Situação | Figura obtida | Uso comum |
|---|---|---|
| Plano paralelo à base | Polígono congruente à base | Comparar áreas de cortes horizontais. |
| Plano perpendicular à base passando por uma diagonal | Retângulo | Aplicar Pitágoras com diagonal da base e altura. |
| Paralelepípedo cortado por diagonal espacial | Retângulo diagonal | Visualizar a diagonal espacial. |
Seção paralela à base
Em qualquer prisma, toda seção feita por um plano paralelo à base é congruente à base.
Isso acontece porque as bases são congruentes e as fatias horizontais têm sempre a mesma área.
Exemplo resolvidoIntermediário
Um prisma reto tem base retangular 6 × 8 cm e altura 12 cm. Um plano perpendicular à base passa pela diagonal da base. Qual é a diagonal da seção?
1
A diagonal da base vale
d_b = √(6² + 8²) = √100 = 10 cm.2
A seção é um retângulo porque o plano usa a diagonal da base como um lado e a altura do prisma como o outro.
3
A diagonal da seção vale
√(10² + 12²) = √244 = 2√61 cm.Diagonal da seção = 2√61 cm
Pirâmides
Pirâmides - definições
Diferente do prisma, a pirâmide tem apenas uma base. As faces laterais são triângulos que se encontram em um ponto chamado ápice.
Comparação rápida
Prisma: duas bases paralelas.
Pirâmide: uma base e um ápice.
Pirâmide regular
Uma pirâmide regular tem base poligonal regular e o pé da altura passa pelo centro da base. Suas faces laterais são triângulos isósceles congruentes.
Para não confundir: apótema da base é uma medida dentro do polígono da base. Apótema da pirâmide é a altura de uma face lateral triangular. Altura da pirâmide vai do ápice ao centro da base.
Pirâmide regular
Área lateralA_lat = P · A_p / 2
Área totalA_tot = A_lat + A_base
VolumeV = A_base · H / 3
Por que aparece o fator 1/3? Todo volume de pirâmide tem um terço do volume do prisma de mesma base e mesma altura. Para resolver questões, o mais importante é lembrar de dividir por 3.
Aprofundamento - volume
A pirâmide tem volume igual a um terço do prisma de mesma base e mesma altura.
▶ Ver demonstração
Em um caso clássico, um prisma triangular pode ser decomposto em três pirâmides de mesmo volume. Como o prisma tem volume
A_base · H, cada pirâmide fica com A_base · H / 3. A ideia geral é justificada pelo Princípio de Cavalieri.□
Exemplo resolvidoIntermediário
Uma pirâmide regular de base quadrada tem lado da base 6 cm e altura 4 cm. Calcule o apótema da pirâmide, a área total e o volume.
1
No quadrado, o apótema da base é metade do lado:
6/2 = 3 cm.2
O apótema da pirâmide forma um triângulo retângulo com a altura e o apótema da base:
A_p = √(4² + 3²) = 5 cm.3
Perímetro da base:
P = 4 · 6 = 24 cm. Área lateral: A_lat = 24 · 5 / 2 = 60 cm².4
Área da base:
A_base = 6² = 36 cm². Área total: A_tot = 60 + 36 = 96 cm².5
Volume:
V = 36 · 4 / 3 = 48 cm³.A_p = 5 cm | A_tot = 96 cm² | V = 48 cm³
Pegadinha comum: não use o lado 6 como apótema da base. No quadrado, o apótema da base é metade do lado, ou seja, 3 cm.
Seções na pirâmide
Quando uma pirâmide é cortada por um plano paralelo à base, a figura obtida tem o mesmo formato da base, mas em tamanho menor. Isso cria uma pirâmide menor semelhante à original.
k = x/H.Semelhança em pirâmides
Comprimentosrazão k
Áreasrazão k²
Volumesrazão k³
Pegadinha comum: comprimentos seguem razão
k, áreas seguem k² e volumes seguem k³. Não use a mesma razão para tudo. Se a distância for dada a partir da base, primeiro converta para distância a partir do vértice.
Exemplo resolvidoAvançado
Uma pirâmide de altura 15 cm e área da base 180 cm² é cortada por um plano paralelo à base a 10 cm do vértice. Determine a área da seção e o volume da pirâmide menor, sabendo que o volume total é 900 cm³.
1
A distância deve ser medida a partir do vértice, pois a pirâmide menor tem altura 10 cm.
2
Razão linear:
k = 10/15 = 2/3.3
Área da seção:
A_sec = 180 · (2/3)² = 180 · 4/9 = 80 cm².4
Volume menor:
V_menor = 900 · (2/3)³ = 900 · 8/27 = 800/3 cm³.A_sec = 80 cm² | V_menor = 800/3 cm³
Tetraedro regular
O tetraedro regular é a pirâmide triangular regular em que todas as faces são triângulos equiláteros. É um dos sólidos platônicos e deve ser visto como conteúdo avançado. Antes dele, domine cubo, paralelepípedo, prismas e pirâmides comuns.
Tetraedro regular
4 faces equiláteras, 6 arestas iguais e 4 vértices
Características
- Todas as faces são triângulos equiláteros.
- Todas as arestas têm medida
a. - É uma pirâmide triangular regular.
- É conteúdo avançado dentro de sólidos.
Fórmulas
FaceA_face = a²√3/4
Área totalA_tot = a²√3
AlturaH = a√6/3
VolumeV = a³√2/12
R e rR = a√6/4, r = a√6/12
Demonstração - altura
A altura do tetraedro regular de aresta
▶ Ver demonstração
a é H = a√6/3.
No triângulo equilátero da base, o centro fica a uma distância
R_b = a√3/3 de cada vértice. A altura do tetraedro, esse raio da base e a aresta lateral formam um triângulo retângulo: H² + R_b² = a². Então H² = a² - a²/3 = 2a²/3, logo H = a√6/3.□
Exemplo resolvidoAvançado
Um tetraedro regular tem aresta 6 cm. Calcule sua altura, volume e raio inscrito.
1
H = 6√6/3 = 2√6 cm.2
V = 6³√2/12 = 216√2/12 = 18√2 cm³.3
r = 6√6/12 = √6/2 cm.H = 2√6 cm | V = 18√2 cm³ | r = √6/2 cm
Princípio de Cavalieri
O Princípio de Cavalieri compara sólidos por fatias. Se dois sólidos têm a mesma altura e, em cada altura, as seções têm áreas iguais, então os volumes são iguais.
Princípio de Cavalieri
Se dois sólidos têm a mesma altura e se, para toda altura, as seções transversais paralelas à base têm áreas iguais, então os dois sólidos têm o mesmo volume.
Imagine empilhar várias folhas de papel. Se duas pilhas têm folhas de mesma área em todas as alturas, terão o mesmo volume, mesmo que uma pilha esteja inclinada.
Aplicação imediata: um prisma oblíquo e um prisma reto com mesma base e mesma altura têm igual volume
V = A_base · h. Isso justifica usar a altura perpendicular entre bases, e não o comprimento da aresta lateral.
| Sólido | Área total | Volume |
|---|---|---|
| Cubo (aresta a) | 6a² | a³ |
| Paralelepípedo (a × b × c) | 2(ab + bc + ca) | abc |
| Prisma regular (P, a, h) | P · h + P · a | P · a · h / 2 |
| Pirâmide regular (A_b, A_p, H) | P · A_p / 2 + A_b | A_b · H / 3 |
| Tetraedro regular (aresta a) | a²√3 | a³√2/12 |
Use a tabela como revisão, não como substituto da explicação. Em questões, primeiro identifique o sólido e as medidas: base, altura, aresta, apótema, diagonal ou seção.
Como aparece em questões
- Encontrar volume a partir da área da base e altura.
- Calcular área total de cubos e paralelepípedos.
- Usar diagonal espacial para descobrir aresta.
- Diferenciar área lateral e área total.
- Calcular apótema de pirâmide por Pitágoras.
- Usar razão de semelhança em seções paralelas à base.
- Reconhecer quando o problema é de nível avançado, como tetraedro regular.
Erros comuns
- Confundir área lateral com área total.
- Esquecer que o prisma tem duas bases.
- Esquecer o fator
1/3no volume da pirâmide. - Usar aresta lateral como altura em prisma oblíquo.
- Confundir diagonal da face com diagonal espacial.
- Escrever
a√2quando deveria sera√3. - Confundir altura da pirâmide com apótema da pirâmide.
- Confundir apótema da base com apótema da pirâmide.
- Usar razão
kem áreas ou volumes sem elevar ao quadrado ou ao cubo. - Decorar fórmulas do tetraedro sem entender que é conteúdo avançado.
- Errar unidades: área em
cm²e volume emcm³.
Resumo para prova
- Prisma tem duas bases congruentes e paralelas.
- Volume do prisma:
V = A_base · h. - Área total do prisma:
A_tot = A_lat + 2A_base. - Cubo:
A_tot = 6a²eV = a³. - Diagonal da face do cubo:
a√2. - Diagonal espacial do cubo:
a√3. - Paralelepípedo:
d = √(a² + b² + c²). - Pirâmide tem uma base e faces laterais triangulares.
- Volume da pirâmide:
V = A_base · H / 3. - Pirâmide regular tem apótema lateral.
- Seção paralela à base de uma pirâmide gera figura semelhante à base.
- Comprimentos seguem
k, áreas seguemk²e volumes seguemk³. - Tetraedro regular é conteúdo avançado.
- Princípio de Cavalieri justifica volumes de prismas e pirâmides.
Exercícios
Exercícios por nível
Básicos
Exercício 1 - Cubo
Um cubo tem área total 96 cm². Qual é o seu volume?
Exercício 2 - Diagonal do cubo
Um cubo tem aresta 5 cm. Qual é sua diagonal espacial?
Exercício 3 - Volume de prisma
Um prisma reto tem base triangular de área 20 cm² e altura 9 cm. Qual é seu volume?
Intermediários
Exercício 4 - Paralelepípedo
Qual é a diagonal espacial de um paralelepípedo com dimensões 2 cm, 6 cm e 9 cm?
Exercício 5 - Pirâmide
Uma pirâmide de base quadrada 10 × 10 cm tem volume 500 cm³. Qual é sua altura?
Exercício 6 - Apótema da pirâmide
Uma pirâmide regular de base quadrada tem lado da base 8 cm e altura 3 cm. Qual é o apótema da pirâmide?
Exercício 7 - Seção na pirâmide
Uma pirâmide tem altura 12 cm. Um plano paralelo à base corta a pirâmide a 6 cm do vértice. Qual é a razão entre a área da seção e a área da base?
Avançados
Exercício 8 - Tetraedro
Num tetraedro regular de aresta a, a razão R/r entre raio circunscrito e raio inscrito vale:
Exercício 9 - Cavalieri
Dois prismas têm a mesma área da base e a mesma altura. Um é reto e o outro é oblíquo. O que podemos concluir sobre seus volumes?