Esfera inscrita e circunscrita ao cubo
Esfera inscrita no cubo (aresta a)
A esfera toca as 6 faces do cubo
O raio da esfera inscrita é a metade da aresta:
Pois a distância do centro do cubo a cada face é a/2.
r = a/2Pois a distância do centro do cubo a cada face é a/2.
Esfera circunscrita ao cubo (aresta a)
A esfera passa pelos 8 vértices do cubo
O raio é metade da diagonal espacial:
Pois d = a√3 e R = d/2.
R = a√3/2Pois d = a√3 e R = d/2.
Relação r/R no cubo
No cubo, a razão entre o raio da esfera inscrita e o raio da esfera circunscrita é constante:
r/R = (a/2)/(a√3/2) = 1/√3 = √3/3
Exemplo resolvidoMédio
Uma esfera está inscrita num cubo de aresta 10 cm. Calcule o raio da esfera, sua área e volume.
1
r = a/2 = 5 cm2
A = 4πr² = 4π·25 = 100π cm²3
V = 4πr³/3 = 4π·125/3 = 500π/3 cm³r=5 cm | A=100π cm² | V=500π/3 cm³
Esfera e cilindro
Esfera inscrita e circunscrita ao cilindro
Esfera inscrita no cilindro
A esfera toca as duas bases e a lateral do cilindro
Para a esfera caber: o diâmetro da esfera = raio do cilindro e = altura do cilindro.
Resultado de Arquimedes:
r_esfera = r_cil = h/2Resultado de Arquimedes:
V_esfera/V_cil = 2/3 e A_esfera/A_lat_cil = 1.
Cilindro inscrito na esfera
O cilindro tem os bordos das bases na esfera
Seja R o raio da esfera, r o raio do cilindro e h a altura.
Para maximizar o volume do cilindro inscrito:
R² = r² + (h/2)²Para maximizar o volume do cilindro inscrito:
h = 2R/√3 e r = R√(2/3).
Cone e cilindro
Cone inscrito no cilindro e cilindro inscrito no cone
Cone inscrito no cilindro
Mesma base e mesma altura
Se o cone e o cilindro têm mesma base (raio r) e mesma altura h:
A relação de volumes é sempre 1:3, independente de r e h.
V_cone = V_cil/3A relação de volumes é sempre 1:3, independente de r e h.
Cilindro de máximo volume inscrito num cone
Dado um cone de raio R e altura H, o cilindro inscrito de máximo volume tem:
r_cil = 2R/3 | h_cil = H/3 | V_max = 4πR²H/27
▶ Ver demonstração
1
Por semelhança de triângulos:
r/R = (H−h)/H → r = R(1−h/H).2
V_cil = πr²h = πR²(1−h/H)²·h. Derive em relação a h e iguale a zero.3
dV/dh = πR²[(1−h/H)²−2h(1−h/H)/H] = 0 → (1−h/H)[1−3h/H] = 04
Solução não-trivial:
h = H/3, e então r = 2R/3. ■Esfera e pirâmide
Esfera inscrita na pirâmide regular
Raio da esfera inscrita
O raio da esfera inscrita numa pirâmide regular de volume V e área total A_tot é:
r = 3V / A_tot
▶ Ver demonstração
1
A esfera inscrita toca todas as faces. Ligue o centro I da esfera a cada vértice, dividindo a pirâmide em pirâmides menores, uma por face.
2
Cada pirâmide menor tem como base uma face da pirâmide e como altura o raio r. Volume de cada: face_área · r / 3.
3
Somando:
V = A_tot · r / 3 → r = 3V/A_tot. ■Exemplo resolvidoDifícil
Uma pirâmide regular quadrangular tem base 6×6 cm, apótema da pirâmide 5 cm e altura 4 cm. Calcule o raio da esfera inscrita.
1
A_base = 36 cm²; A_lat = P·A_p/2 = 24·5/2 = 60 cm²; A_tot = 96 cm²2
V = 36·4/3 = 48 cm³3
r = 3V/A_tot = 144/96 = 1,5 cmr = 1,5 cm
Tabela de relações
Tabela de relações inscrito/circunscrito
| Configuração | Relação chave |
|---|---|
| Esfera inscrita no cubo (aresta a) | r = a/2 |
| Esfera circunscrita ao cubo | R = a√3/2 |
| Relação r/R no cubo | r/R = 1/√3 |
| Esfera inscrita no cilindro equilátero | r_esf = r_cil = h/2; V_esf/V_cil = 2/3 |
| Cilindro inscrito na esfera (raio R) | r² + (h/2)² = R² |
| Cone inscrito no cilindro (mesmos r, h) | V_cone = V_cil/3 |
| Cilindro de máximo volume no cone (R, H) | r=2R/3, h=H/3 |
| Esfera inscrita na pirâmide | r = 3V/A_tot |
| Esfera inscrita no tetraedro regular (aresta a) | r = a√6/12 |
| Esfera circunscrita ao tetraedro regular | R = a√6/4 = 3r |
Sólidos de revolução
Sólidos de revolução
Definição — Sólido de Revolução
Um sólido de revolução é gerado pela rotação de uma figura plana em torno de um eixo fixo (que pode ou não passar pela figura). O eixo pode ser um dos lados da figura ou uma reta externa.
Retângulo girado
Cilindro
Rotação em torno de um dos lados. Raio = lado perpendicular, altura = lado paralelo ao eixo.
Eixo: um dos lados
Triângulo retângulo
Cone
Rotação em torno do cateto. Raio = cateto perpendicular, altura = cateto do eixo.
Eixo: um cateto
Semicírculo
Esfera
Rotação em torno do diâmetro. Raio da esfera = raio do semicírculo.
Eixo: diâmetro
Trapézio retângulo
Tronco de cone
Rotação em torno do lado perpendicular às bases. Os dois raios = bases paralelas do trapézio.
Eixo: lado reto
Retângulo (eixo externo)
Toro (rosquinha)
Rotação de um retângulo em torno de um eixo externo paralelo a um de seus lados.
Eixo: reta externa
Triângulo equilátero
Cone duplo
Rotação em torno da altura. Gera dois cones com base comum no centro.
Eixo: altura
Exemplo resolvidoDifícil
Um triângulo retângulo com catetos 3 e 4 cm é girado em torno do cateto de 4 cm. Calcule o volume do sólido gerado.
1
Girando em torno do cateto de 4 cm, o sólido gerado é um cone com
h = 4 cm e r = 3 cm (cateto perpendicular ao eixo).2
V = πr²h/3 = π·9·4/3 = 12π cm³V = 12π cm³
Exemplo resolvidoDifícil
Um retângulo 3×5 cm é girado em torno do lado de 5 cm. Depois, é girado em torno do lado de 3 cm. Compare os volumes dos dois sólidos gerados.
1
Caso 1 — eixo = lado de 5 cm: Cilindro com r=3, h=5.
V₁ = π·9·5 = 45π cm³2
Caso 2 — eixo = lado de 3 cm: Cilindro com r=5, h=3.
V₂ = π·25·3 = 75π cm³3
V₂/V₁ = 75/45 = 5/3. O cilindro de eixo menor tem volume maior.
V₁=45π cm³ | V₂=75π cm³ | V₂ = (5/3)·V₁
Teorema de Pappus
Teorema de Pappus (Guldin)
Teorema de Pappus — Volume
O volume do sólido gerado pela rotação de uma figura plana de área A em torno de um eixo externo é igual ao produto da área A pelo comprimento da trajetória percorrida pelo centroide da figura.
V = 2π · d̄ · A
onde d̄ é a distância do centroide da figura ao eixo de rotação.
Exemplo resolvido — ToroDifícil
Um círculo de raio r = 2 cm tem seu centro a D = 6 cm do eixo de rotação. Calcule o volume do toro gerado.
1
Área do círculo:
A = πr² = 4π cm²2
Centroide do círculo = seu centro, a D=6 cm do eixo.
3
V = 2π·D·A = 2π·6·4π = 48π² cm³V = 48π² cm³
Exercícios
Exercícios
Exercício 1 — Esfera e cubo
Uma esfera está circunscrita a um cubo de aresta 4 cm. Qual é o raio da esfera?
Exercício 2 — Cone e cilindro
Um cilindro e um cone têm o mesmo raio e a mesma altura. A razão V_cone/V_cilindro é:
Exercício 3 — Revolução
Um triângulo retângulo (catetos 5 e 12 cm) gira em torno do cateto de 12 cm. Qual é o volume gerado?
Exercício 4 — Inscrição
Numa pirâmide regular quadrangular com V=48 cm³ e A_tot=96 cm², qual é o raio da esfera inscrita?