Sólidos Inscritos, Circunscritos e de Revolução

Mapa da trilha

Esta página é mais avançada do que prismas, pirâmides, cilindros, cones e esferas. Ela junta relações entre sólidos e sólidos gerados por rotação, então a melhor forma de estudar é por níveis.

Atenção em prova: antes de estudar sólidos inscritos e de revolução, domine cubo, paralelepípedo, prismas, pirâmides, cilindro, cone e esfera. Em provas mais diretas, o mais comum é aparecer área e volume dos sólidos básicos. Em provas completas e vestibulares, podem aparecer relações entre sólidos, esfera inscrita/circunscrita, troncos e sólidos gerados por rotação.

Trilha 1Esfera inscrita e circunscrita

Esfera no cubo, esfera no cilindro, cilindro na esfera, pirâmide regular e relações principais.

Trilha 2Cone, cilindro e volumes

Cone e cilindro com mesma base e altura, cilindro inscrito no cone e otimização como tópico avançado.

Trilha 3Revolução básica

Retângulo gerando cilindro, triângulo retângulo gerando cone, semicírculo gerando esfera e trapézio gerando tronco de cone.

Trilha 4Revolução avançada e Pappus

Eixo externo, toro, centroide e Teorema de Pappus. Prioridade maior para provas completas e vestibulares mais exigentes.

Inscrito e circunscrito

Ideia principal

Um sólido está inscrito em outro quando fica dentro dele e toca suas partes internas. Um sólido está circunscrito a outro quando fica por fora, envolvendo o sólido menor.

Uma esfera inscrita em um cubo toca as faces do cubo. Uma esfera circunscrita ao cubo passa pelos vértices do cubo.

Pegadinha comum: inscrito e circunscrito dependem de quem está dentro e quem está fora. Leia o enunciado com cuidado antes de escolher a fórmula.

Esfera inscrita e circunscrita ao cubo

Esquema em seção/perspectiva: no caso inscrito, o diâmetro da esfera coincide com a aresta do cubo. No caso circunscrito, o diâmetro coincide com a diagonal espacial do cubo.

Esfera inscrita no cubo de aresta a

A esfera toca as 6 faces do cubo.

A maior esfera possível dentro do cubo tem diâmetro igual à aresta do cubo.
2r = a
r = a/2

Em prova, esse caso costuma ser direto: se a esfera está inscrita no cubo, use o diâmetro da esfera igual à aresta do cubo.

Esfera circunscrita ao cubo de aresta a

A esfera passa pelos 8 vértices do cubo.

O diâmetro da esfera é igual à diagonal espacial do cubo.
d = a√3
2R = a√3
R = a√3/2

Pegadinha: não use a diagonal da face a√2. Para a esfera circunscrita ao cubo, usamos a diagonal espacial a√3.

Relação r/R no cubo

No cubo, a razão entre o raio da esfera inscrita e o raio da esfera circunscrita é constante.

r = a/2
R = a√3/2
r/R = (a/2)/(a√3/2) = 1/√3 = √3/3

Leitura de prova: essa razão não depende da aresta do cubo.

Exemplo resolvidoMédio

Uma esfera está inscrita num cubo de aresta 10 cm. Calcule o raio da esfera, sua área e seu volume.

1

Como a esfera está inscrita, 2r = 10. Logo, r = 5 cm.

2

A = 4πr² = 4π·25 = 100π cm².

3

V = 4πr³/3 = 4π·125/3 = 500π/3 cm³.

Pegadinha: não use 10 como raio. Se a esfera está inscrita, o raio é metade da aresta: 5 cm.

r = 5 cm | A = 100π cm² | V = 500π/3 cm³

Esfera inscrita e cilindro inscrito

Esfera inscrita no cilindro

A esfera toca a base inferior, a base superior e a superfície lateral.

Para uma esfera ficar inscrita em um cilindro reto, o diâmetro da esfera deve ser igual ao diâmetro da base do cilindro e igual à altura do cilindro.
2r_esfera = 2r_cilindro = h
r_esfera = r_cilindro = h/2

Esse caso aparece quando a questão fala em esfera inscrita em cilindro equilátero ou cilindro que circunscreve uma esfera.

Resultado de Arquimedes: para o cilindro circunscrito à esfera, com raio

r

e altura

2r

, vale

V_esfera/V_cil = 2/3

. Não aplique

2/3

para qualquer cilindro; ele vale quando a esfera está perfeitamente inscrita.

Cilindro inscrito na esfera

Os bordos das bases do cilindro pertencem à esfera.

A seção meridiana da esfera e do cilindro forma um retângulo inscrito em um círculo. Metade da altura do cilindro e o raio da base formam um triângulo retângulo com o raio da esfera.
R² = r² + (h/2)²

Pegadinha: use h/2, não h, porque o centro da esfera fica no meio da altura do cilindro.

Exemplo resolvidoMédio

Um cilindro de raio 3 cm e altura 8 cm está inscrito em uma esfera. Determine o raio da esfera.

1

Use a relação R² = r² + (h/2)².

2

R² = 3² + (8/2)² = 9 + 16 = 25.

3

R = 5 cm.

R = 5 cm

Avançado

O cilindro de maior volume inscrito em uma esfera de raio R tem

h = 2R/\sqrt3

e

r = R\sqrt(2/3)

.

Este resultado usa otimização. Não é prioridade para provas mais diretas; é mais útil em vestibulares fortes e aprofundamento.

Cone inscrito no cilindro e cilindro inscrito no cone

Cone inscrito no cilindro

Mesma base e mesma altura.

Se cone e cilindro têm a mesma base e a mesma altura, o cone ocupa exatamente um terço do volume do cilindro.
V_cil = πr²h
V_cone = πr²h/3
V_cone = V_cil/3

Essa relação é uma das mais cobradas porque compara diretamente as fórmulas.

Tópico avançado

Dado um cone de raio R e altura H, o cilindro inscrito de máximo volume tem

r = 2R/3

e

h = H/3

.

A demonstração usa derivada. Para provas de ensino médio que não cobram cálculo, o mais importante é entender a relação por semelhança, não decorar a otimização.

▶ Ver demonstração

1

Por semelhança de triângulos: r/R = (H - h)/H, então r = R(1 - h/H).

2

V_cil = πr²h = πR²(1 - h/H)²h.

3

Derivando em relação a h e igualando a zero, obtemos a solução não trivial h = H/3.

4

Substituindo: r = R(1 - 1/3) = 2R/3. ■

Esfera inscrita na pirâmide regular

Quando uma esfera está inscrita em uma pirâmide e toca todas as faces, o centro da esfera fica a uma distância $r$ de cada face. Essa distância é o raio da esfera inscrita.

Raio da esfera inscrita

Em uma pirâmide regular que admite esfera inscrita tocando todas as faces, o raio pode ser calculado por:

r = 3V / A_tot

A fórmula vem da soma dos volumes de pequenas pirâmides formadas com cada face. Use especialmente em pirâmides regulares.

▶ Ver demonstração

1

A esfera inscrita toca todas as faces. Ligue o centro da esfera a cada vértice, dividindo a pirâmide em pirâmides menores, uma por face.

2

Cada pirâmide menor tem como base uma face e como altura o raio r. Volume de cada uma: área da face · r / 3.

3

Somando todas as faces: V = A_tot · r / 3. Logo, r = 3V/A_tot. ■

Exemplo resolvidoDifícil

Uma pirâmide regular quadrangular tem base 6×6 cm, apótema da pirâmide 5 cm e altura 4 cm. Calcule o raio da esfera inscrita.

1

A_base = 36 cm². A área lateral é A_lat = P·ap/2 = 24·5/2 = 60 cm².

2

A_tot = 36 + 60 = 96 cm² e V = 36·4/3 = 48 cm³.

3

r = 3V/A_tot = 144/96 = 1,5 cm.

Pegadinha: não use apenas a área da base. A fórmula usa área total, incluindo base e faces laterais.

r = 1,5 cm

Tabela de relações inscrito/circunscrito

Esta tabela é para consulta e revisão. Não é necessário decorar tudo de uma vez. Primeiro entenda os casos mais cobrados: esfera no cubo, esfera no cilindro, cone e cilindro, e esfera inscrita em pirâmide.

Configuração	Relação chave	Prioridade
Esfera inscrita no cubo	`r = a/2`	Média/alta
Esfera circunscrita ao cubo	`R = a√3/2`	Média/alta
Relação r/R no cubo	`r/R = 1/√3 = √3/3`	Média
Esfera inscrita no cilindro	`2r_esf = 2r_cil = h`	Média
Cilindro inscrito na esfera	`r² + (h/2)² = R²`	Média/alta
Cone inscrito no cilindro	`V_cone = V_cil/3`	Alta
Cilindro de máximo volume no cone	`r = 2R/3, h = H/3`	Avançada
Esfera inscrita na pirâmide	`r = 3V/A_tot`	Média/alta
Esfera inscrita no tetraedro regular	`r = a√6/12`	Avançada
Esfera circunscrita ao tetraedro regular	`R = a√6/4 = 3r`	Avançada
Teorema de Pappus	`V = 2π · d · A`	Avançada

Aprofundamento: tetraedro regular com esfera inscrita/circunscrita é conteúdo mais forte, útil para provas completas e vestibulares mais exigentes.

Sólidos de revolução

Definição — Sólido de Revolução

Um sólido de revolução é gerado pela rotação de uma figura plana em torno de um eixo fixo. Em sólidos de revolução, a maior dificuldade é identificar o eixo de rotação. O mesmo retângulo ou triângulo pode gerar sólidos diferentes dependendo do eixo.

Em questões de prova, grife o eixo de rotação antes de calcular raio e altura.

Retângulo girado

Cilindro

Rotação em torno de um dos lados. Raio = lado perpendicular, altura = lado paralelo ao eixo.

Eixo: um dos lados

Triângulo retângulo

Cone

Rotação em torno do cateto. Raio = cateto perpendicular, altura = cateto usado como eixo.

Eixo: um cateto

Semicírculo

Esfera

Rotação em torno do diâmetro. Raio da esfera = raio do semicírculo.

Eixo: diâmetro

Trapézio retângulo

Tronco de cone

Rotação em torno do lado perpendicular às bases. As bases paralelas viram os raios.

Eixo: lado reto

Círculo com eixo externo

Toro

Rotação de um círculo em torno de um eixo externo no mesmo plano, sem cortar o círculo. Gera um toro, parecido com uma rosquinha.

Eixo: reta externa

Triângulo equilátero

Cone duplo

Rotação em torno da altura. Gera dois cones com base comum no centro.

Menos comum em provas básicas, mas útil para visualizar revolução.

Exemplo resolvidoMédio

Um triângulo retângulo com catetos 3 e 4 cm é girado em torno do cateto de 4 cm. Calcule o volume do sólido gerado.

1

Girando em torno do cateto de 4 cm, o sólido gerado é um cone com h = 4 cm e r = 3 cm.

2

V = πr²h/3 = π·9·4/3 = 12π cm³.

Pegadinha: o cateto usado como eixo vira a altura do cone. O outro cateto vira o raio.

V = 12π cm³

Exemplo resolvidoMédio

Um retângulo de lados 4 cm e 7 cm gira em torno do lado de 7 cm. Determine o volume do cilindro formado.

1

O lado usado como eixo vira a altura: h = 7.

2

O lado perpendicular ao eixo vira o raio: r = 4.

3

V = πr²h = π·16·7 = 112π cm³.

V = 112π cm³

Exemplo resolvido — comparaçãoMédio

Um retângulo 3×5 cm é girado em torno do lado de 5 cm. Depois, é girado em torno do lado de 3 cm. Compare os volumes dos dois sólidos gerados.

1

Eixo = lado de 5 cm: cilindro com r = 3 e h = 5. Então V1 = π·9·5 = 45π cm³.

2

Eixo = lado de 3 cm: cilindro com r = 5 e h = 3. Então V2 = π·25·3 = 75π cm³.

3

V2/V1 = 75/45 = 5/3. O cilindro de eixo menor tem volume maior.

Leitura de prova: esse exemplo mostra por que o eixo de rotação importa. Não escolha raio e altura automaticamente.

V1 = 45π cm³ | V2 = 75π cm³ | V2 = (5/3)V1

Teorema de Pappus (Guldin)

Prioridade: Pappus é conteúdo avançado. Para começar, não é prioridade. Para provas completas e vestibulares mais exigentes, pode ser útil em problemas de sólidos de revolução com eixo externo.

Centroide é o centro geométrico da figura. Em figuras simples, ele coincide com o centro: no círculo, é o centro; no retângulo, é o encontro das diagonais; no triângulo, é o baricentro.

Teorema de Pappus — Volume

O volume do sólido gerado pela rotação de uma figura plana de área A em torno de um eixo externo é igual ao produto da área A pelo comprimento da trajetória percorrida pelo centroide da figura.

V = 2π · d · A

Aqui,

d

é a distância do centroide da figura ao eixo de rotação.

Exemplo resolvido — ToroDifícil

Um círculo de raio r = 2 cm tem seu centro a D = 6 cm do eixo de rotação. Calcule o volume do toro gerado.

1

Esse é um exemplo clássico de Pappus: a área geradora é um círculo e o centro percorre uma circunferência de raio D.

2

Área do círculo: A = πr² = 4π cm².

3

V = 2π·D·A = 2π·6·4π = 48π² cm³.

V = 48π² cm³

Erros comuns

Confundir esfera inscrita com esfera circunscrita.
Usar diagonal da face no lugar da diagonal espacial do cubo.
Confundir raio com diâmetro.
Esquecer que o cone tem um terço do volume do cilindro de mesma base e altura.
Usar $h$ em vez de $h/2$ no cilindro inscrito na esfera.
Aplicar $V_esfera/V_cil = 2/3$ em qualquer cilindro.
Usar área da base em vez de área total na fórmula $r = 3V/A_tot$ .
Errar o eixo de rotação.
Confundir o lado que vira raio com o lado que vira altura.
Tratar Pappus como conteúdo básico.

Resumo para prova

Esfera inscrita no cubo: $r = a/2$ .
Esfera circunscrita ao cubo: $R = a\sqrt3/2$ .
No cubo, a diagonal espacial é $a\sqrt3$ .
Esfera inscrita no cilindro: o cilindro tem altura igual ao diâmetro da esfera.
Cone e cilindro com mesma base e altura: $V_cone = V_cil/3$ .
Cilindro inscrito na esfera: $R² = r² + (h/2)²$ .
Pirâmide regular com esfera inscrita: $r = 3V/A_tot$ .
Retângulo girando em torno de um lado gera cilindro.
Triângulo retângulo girando em torno de um cateto gera cone.
Semicírculo girando em torno do diâmetro gera esfera.
O eixo de rotação define raio e altura.
Pappus é tópico avançado.

Exercícios

Exercício básico — Esfera e cubo

Uma esfera está circunscrita a um cubo de aresta 4 cm. Qual é o raio da esfera?

Exercício básico — Cubo inscrito na esfera

Um cubo de aresta 6 cm está inscrito em uma esfera. Qual é o raio da esfera?

Exercício básico — Cone e cilindro

Um cilindro e um cone têm o mesmo raio e a mesma altura. A razão V_cone/V_cilindro é:

Exercício intermediário — Revolução

Um triângulo retângulo de catetos 5 e 12 cm gira em torno do cateto de 12 cm. Qual é o volume gerado?

Exercício intermediário — Cilindro na esfera

Um cilindro de raio 3 cm e altura 8 cm está inscrito em uma esfera. Qual é o raio da esfera?

Exercício intermediário — Esfera e pirâmide

Numa pirâmide regular quadrangular com V = 48 cm³ e A_tot = 96 cm², qual é o raio da esfera inscrita?

Exercício avançado — Pappus

No Teorema de Pappus, se uma figura de área A gira em torno de eixo externo e seu centroide está a distância d do eixo, o volume gerado é: