Cilindro Reto
Gerado pela rotação de um retângulo em torno de um de seus lados
Propriedades
- Duas bases circulares paralelas e congruentes de raio r.
- SuperfÃcie lateral: retângulo enrolado.
- Cilindro equilátero: caso especial em que a geratriz (altura) é igual ao diâmetro: h = 2r. Nesse caso a área lateral = área das duas bases.
- Geratriz g = h (no cilindro reto).
Fórmulas (raio r, altura h)
Ãrea lateralA_lat = 2Ï€rh
Ãrea totalA_tot = 2Ï€r(r+h)
VolumeV = πr²h
Equiláteroh = 2r → A_lat = 2A_base
Exemplo resolvidoMédio
Um cilindro equilátero tem raio r = 5 cm. Calcule a área total e o volume.
1
Equilátero → h = 2r = 10 cm.
2
A_tot = 2πr(r+h) = 2π·5·15 = 150π cm²3
V = πr²h = π·25·10 = 250π cm³A_tot = 150π cm² | V = 250π cm³
Cone
Cone Reto
Gerado pela rotação de um triângulo retângulo em torno do cateto
Propriedades
- Base circular de raio r, ápice V, altura h.
- Geratriz:
g = √(r²+h²). - A superfÃcie lateral desenrolada é um setor circular de raio g e arco 2Ï€r.
- Ângulo do setor:
θ = 2πr/gradianos. - Cone equilátero: g = 2r (geratriz = diâmetro).
Fórmulas (raio r, altura h, geratriz g)
Geratrizg = √(r²+h²)
Ãrea lateralA_lat = Ï€rg
Ãrea totalA_tot = Ï€r(r+g)
Volume
V = πr²h3
Ãrea lateral — dedução
A lateral do cone é um setor circular de raio g e arco igual à circunferência da base (2πr).
▶ Ver demonstração
1
Ao desenrolar a lateral, obtemos um setor de raio g. A proporção do setor em relação ao cÃrculo completo é o arco dividido pela circunferência total:
α/2π = 2πr/(2πg) = r/g.2
Ãrea do setor = proporção × área do cÃrculo:
A_lat = (r/g)·πg² = Ï€rg. â– Exemplo resolvidoDifÃcil
Um cone tem área total 96π cm² e raio 6 cm. Calcule a geratriz, a altura e o volume.
1
A_tot = πr(r+g) → 96π = 6π(6+g) → 16 = 6+g → g = 10 cm2
h = √(g²−r²) = √(100−36) = √64 = 8 cm3
V = πr²h/3 = π·36·8/3 = 96π cm³g=10 cm | h=8 cm | V=96π cm³
Secoes meridianas
Secoes meridianas e semelhanca
Corte pelo eixo
Quando o plano de corte contem o eixo do solido, ele produz a chamada secao meridiana. Esse corte traduz o problema espacial para uma figura plana bem conhecida.
| Solido | Secao meridiana | Leitura util |
|---|---|---|
| Cilindro reto | retangulo de lados 2r e h | diagonal da secao = √(4r2+h2) |
| Cone reto | triangulo isosceles de base 2r e lados g | altura do triangulo e a altura do cone |
| Tronco de cone | trapezio isosceles | a geratriz vira o lado obliquo do trapezio |
Corte paralelo a base no cone
Se um plano corta um cone paralelamente a base, o cone menor gerado no topo e semelhante ao cone original.
Assim, todas as razoes lineares sao iguais e areas/volumes seguem, respectivamente, o quadrado e o cubo dessa razao.
Exemplo resolvidoMedio
Um cilindro reto tem raio 4 cm e altura 6 cm. Calcule a diagonal da secao meridiana.
1
A secao meridiana do cilindro e um retangulo de lados
2r = 8 e h = 6.2
Pelo Teorema de Pitagoras:
d = √(82 + 62) = √100 = 10 cm.Diagonal da secao = 10 cm
Esfera
Esfera
Gerada pela rotação de um semicÃrculo em torno do diâmetro
Propriedades
- Conjunto de pontos a distância r do centro O.
- Todo corte plano gera uma circunferência.
- Seção pelo centro: cÃrculo máximo.
- Fórmulas de Arquimedes: esfera inscrita num cilindro de mesma altura e raio tem A e V iguais a 2/3 do cilindro.
Fórmulas (raio r)
ÃreaA = 4Ï€r²
Volume
V = 4πr³3
Calota — áreaA_c = 2πrh
Calota — vol.
V_c = πh²(3r−h)3
Resultado de Arquimedes
A área da superfÃcie de uma esfera de raio r é igual à área lateral do cilindro circunscrito (mesmo raio, altura = diâmetro).
Cilindro circunscrito: r, h = 2r. A_lat_cil = 2πr·2r = 4πr² = A_esfera.
Exemplo resolvidoMédio
Uma esfera tem área de superfÃcie 100Ï€ cm². Calcule o raio e o volume.
1
4πr² = 100π → r² = 25 → r = 5 cm2
V = 4πr³/3 = 4π·125/3 = 500π/3 cm³r = 5 cm | V = 500π/3 cm³
Cortes na esfera
Cortes planos, calotas e circulos
Plano secante a esfera
Todo plano que corta a esfera produz um circulo. Se o plano passa pelo centro, o corte e um circulo maximo. Se nao passa, o raio do circulo diminui.
Corte plano a distancia d do centro
Raio do corterho = √(r2 - d2)
Area do corteA = π(r2 - d2)
Caso maximod = 0 → rho = r
Relacao pitagorica
Se o plano secante esta a distancia
d do centro de uma esfera de raio r, entao o raio rho do circulo de secao satisfaz rho2 + d2 = r2.Essa relacao aparece o tempo todo em problemas de calota, esfera inscrita e cortes paralelos.
Exemplo resolvidoDificil
Uma esfera de raio 10 cm e cortada por um plano a 6 cm do centro. Determine o raio e a area do circulo de secao.
1
Use
rho2 = r2 - d2 = 102 - 62 = 64.2
Logo
rho = 8 cm.3
Area do corte:
A = πrho2 = 64π cm2.rho = 8 cm | A = 64π cm2
Fuso e cunha esférica
Fuso e cunha esférica
Fuso Esférico
O fuso esférico é a porção da esfera compreendida entre dois semicÃrculos máximos que formam um ângulo diedro θ (em radianos). É a generalização do "gomo de laranja".
Ãrea do fuso: proporcional ao ângulo — como θ/2Ï€ da área total da esfera.
Fuso e cunha esférica (ângulo θ em radianos, ou α em graus)
Ãrea do fuso
A_fuso = 2r²θ (θ em rad) ou A = α·πr²90 (α em graus)
Volume da cunha
V_cunha = 2r³θ3 ou V = 2α·πr³270
Proporção: fuso e cunha são frações da esfera proporcionais ao ângulo diedro θ. Para θ = 2π (volta completa), recuperamos A = 4πr² e V = 4πr³/3.
Exemplo resolvidoMédio
Uma esfera de raio 3 cm tem um fuso de ângulo 60°. Calcule a área do fuso e o volume da cunha correspondente.
1
A_fuso = 60·π·9/90 = 540π/90 = 6π cm²2
V_cunha = 2·60·π·27/270 = 3240π/270 = 12π cm³A_fuso = 6π cm² | V_cunha = 12π cm³
Troncos
Tronco de pirâmide regular
Definição — Tronco de Pirâmide
O tronco de pirâmide é a parte da pirâmide compreendida entre a base e um plano paralelo à base (que corta todas as arestas laterais). As duas bases são polÃgonos semelhantes.
Base maior: perÃmetro P, área A_1. Base menor: perÃmetro p, área A_2. Apótema do tronco: a_t (altura da face trapezoidal).
Tronco de pirâmide regular
Ãrea lateral
A_lat = (P+p)·a_t2
Ãrea totalA_tot = A_lat + A_1 + A_2
Volume
V = H3·(A_1 + A_2 + √(A_1·A_2))
Fórmula do volume — prismoide
O volume do tronco de pirâmide não é simplesmente a média das áreas vezes a altura — é preciso incluir a média geométrica.
▶ Ver demonstração
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A pirâmide completa de altura H_total com base A_1 tem volume V_grande = A_1·H_total/3.
2
A pirâmide cortada (acima do tronco) tem base A_2 e altura H_total − H. Como as bases são semelhantes com razão k, temos A_2 = k²·A_1 e H_total − H = k·H_total.
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V_tronco = V_grande − V_pequena = A_1·H_total/3 − A_2·(H_total−H)/3. Substituindo k e simplificando:
V = H·(A_1+A_2+√(A_1·A_2))/3. â– Exemplo resolvidoDifÃcil
Um tronco de pirâmide de base quadrada tem bases com lados 6 cm e 4 cm, e altura 3 cm. Calcule o volume.
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A_1 = 36 cm², A_2 = 16 cm²2
√(A_1·A_2) = √(36·16) = √576 = 24 cm²3
V = (3/3)·(36+16+24) = 1·76 = 76 cm³V = 76 cm³
Tronco de cone reto
Definição — Tronco de Cone
O tronco de cone é obtido cortando um cone com um plano paralelo à base. Tem duas bases circulares de raios R (maior) e r (menor), altura h e geratriz g.
Geratriz: g = √(h² + (R−r)²)
Tronco de cone (raios R e r, altura h, geratriz g)
Geratrizg = √(h²+(R−r)²)
Ãrea lateralA_lat = Ï€(R+r)·g
Ãrea totalA_tot = Ï€(R+r)g + Ï€(R²+r²)
Volume
V = πh3·(R²+r²+Rr)
Exemplo resolvidoDifÃcil
Um tronco de cone tem R = 6 cm, r = 3 cm e h = 4 cm. Calcule a geratriz, a área lateral e o volume.
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g = √(16+(6−3)²) = √(16+9) = 5 cm2
A_lat = π(6+3)·5 = 45π cm²3
V = π·4·(36+9+18)/3 = 4π·63/3 = 84π cm³g=5 cm | A_lat=45π cm² | V=84π cm³
Tabela geral
Tabela de corpos redondos
| Sólido | Ãrea lateral | Ãrea total | Volume |
|---|---|---|---|
| Cilindro | 2πrh | 2πr(r+h) | πr²h |
| Cone | πrg | πr(r+g) | πr²h/3 |
| Esfera | — | 4πr² | 4πr³/3 |
| Calota esférica | 2πrh | — | πh²(3r−h)/3 |
| Tronco de cone | π(R+r)g | π(R+r)g+π(R²+r²) | πh(R²+r²+Rr)/3 |
| Tronco de pirâmide | (P+p)·a_t/2 | +Aâ‚+Aâ‚‚ | H(Aâ‚+Aâ‚‚+√(Aâ‚Aâ‚‚))/3 |
ExercÃcios
ExercÃcios
ExercÃcio 1 — Cilindro
Um cilindro tem r = 3 cm e h = 8 cm. Qual é seu volume?
ExercÃcio 2 — Cone
Um cone tem r = 4 e g = 5 cm. Qual é sua área lateral?
ExercÃcio 3 — Esfera
O volume de uma esfera é 36Ï€ cm³. Qual é a sua área de superfÃcie?
ExercÃcio 4 — Tronco de cone
Tronco de cone: R=5, r=2, h=4 cm. Qual é a geratriz?