Geometria de Posição

Postulados da Geometria Espacial

Assim como a geometria plana parte dos postulados de Euclides, a geometria espacial parte de um conjunto de postulados de incidência e posição que definem como pontos, retas e planos se relacionam no espaço tridimensional.

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Atenção em prova: Geometria de Posição costuma aparecer escondida dentro de sólidos. A questão pode mostrar um cubo, prisma ou pirâmide e perguntar se duas retas são paralelas, concorrentes, perpendiculares ou reversas. Também pode pedir projeção, distância ou ângulo diedro.

Postulado 1 — Existência

Existem infinitos pontos, e eles não são todos coplanares (não estão todos num mesmo plano). O espaço contém pelo menos quatro pontos não-coplanares.

Postulado 2 — Reta e plano

Uma reta é determinada por dois pontos distintos. Se dois pontos de uma reta pertencem a um plano, então a reta inteira pertence ao plano.

Postulado 3 — Interseção de planos

Se dois planos distintos têm um ponto em comum, então sua interseção é uma reta.

Postulado 4 — Determinação de plano

Três pontos não-colineares determinam um único plano.

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Por que postulados e não definições? Ponto, reta e plano são conceitos primitivos — não se definem, apenas se descrevem por suas propriedades. Os postulados são as regras do jogo: afirmações sobre como esses objetos se comportam, aceitas sem demonstração. Todo teorema da geometria espacial é uma consequência lógica desses postulados.

Determinação de um plano

Um plano no espaço é determinado (ou seja, existe um único plano satisfazendo a condição) em cada uma das situações abaixo:

•••

3 pontos não-colineares

A, B e C não estão na mesma reta → determinam α único.

A, B, C ∈ α

↔·

Reta + ponto externo

Reta r e ponto P ∉ r determinam um único plano.

r ∪ {P} ⊂ α

↔↔

Duas retas concorrentes

Retas r e s que se cruzam num ponto determinam um único plano.

r ∩ s = {P}

⇉

Duas retas paralelas

Retas r ∥ s (distintas) determinam um único plano que contém ambas.

r ∥ s ⊂ α

⚠️

Dois pontos não determinam um plano — determinam apenas uma reta. É necessário um terceiro ponto não-colinear, ou outra condição equivalente. Esse é um erro clássico em provas.

Posições relativas entre duas retas no espaço

No plano, duas retas só podem ser paralelas, concorrentes ou coincidentes. No espaço, surge uma quarta possibilidade exclusiva do 3D:

Posição	Característica	Plano comum?	Ponto comum?
Coincidentes	São a mesma reta	Infinitos	Infinitos
Paralelas	Sem ponto comum, determinam um plano	Exatamente 1	Nenhum
Concorrentes	Têm exatamente um ponto comum, determinam um plano	Exatamente 1	1
Reversas	Sem ponto comum, não determinam nenhum plano comum	Nenhum	Nenhum

Definição — Retas Reversas

Duas retas são reversas quando não são coplanares e não possuem ponto comum. Isso é impossível no plano, mas ocorre naturalmente no espaço tridimensional.

Exemplo clássico: A borda superior de uma parede e a borda inferior da parede oposta num cômodo são retas reversas.

Pegadinha comum: não confunda reversas com paralelas. Retas paralelas estão no mesmo plano. Retas reversas não estão no mesmo plano.

Definição — Ângulo entre retas reversas

O ângulo entre duas retas reversas r e s é definido como o ângulo entre r e uma reta paralela a s traçada por um ponto de r. Esse ângulo independe do ponto escolhido.

Retas reversas num cubo: aresta superior frontal (r) e aresta inferior posterior (s)

Critério de reversas

Duas retas são reversas quando não pertencem a um mesmo plano. Na prática, elas não se cruzam e não são paralelas.

Posições relativas entre reta e plano

Posição	Condição	Pontos comuns
Reta contida no plano	Dois pontos da reta pertencem ao plano	Infinitos
Reta paralela ao plano	Nenhum ponto em comum; r ∥ α	Nenhum
Reta secante ao plano	Exatamente um ponto em comum (ponto de interseção)	1
Reta perpendicular ao plano	Caso especial de secante: r ⊥ α quando r é perpendicular a toda reta de α que passa pela interseção	1

Definição — Reta perpendicular ao plano

Uma reta r é perpendicular ao plano α (r ⊥ α) se r é perpendicular a toda reta de α que passa pelo pé da perpendicular.

Teorema prático: basta verificar que r é perpendicular a duas retas distintas de α que se cruzam no pé — isso é suficiente para garantir r ⊥ α.

Teorema das três perpendiculares

Se uma reta é perpendicular a um plano, então ela é perpendicular a toda reta desse plano que passa pelo pé da perpendicular.

A ideia prática é simples: quando a reta forma 90° com o plano, qualquer direção do plano passando pelo ponto de contato também forma 90° com essa reta. Em questões, esse resultado costuma aparecer em cubos, pirâmides e projeções ortogonais.

Posições relativas entre dois planos

Posição	Condição	Interseção
Coincidentes	São o mesmo plano	O próprio plano
Paralelos	Nenhum ponto em comum; α ∥ β	∅
Secantes	Têm pontos em comum; interseção é uma reta	Uma reta r = α ∩ β
Perpendiculares	Caso especial de secantes com diedro de 90°	Uma reta

Teorema

Se dois planos paralelos α e β são cortados por um terceiro plano γ, então as retas de interseção α ∩ γ e β ∩ γ são paralelas.

▶ Ver demonstração

1

As retas α ∩ γ e β ∩ γ pertencem ao mesmo plano γ.

2

Se elas se cruzassem, haveria um ponto comum aos planos α e β.

3

Isso contradiz α ∥ β. Portanto, as interseções são paralelas. [fim]

Ângulo diedro

Definição — Ângulo Diedro

Dado dois semiplanos α e β que têm a mesma aresta (reta r como fronteira comum), o ângulo diedro α–r–β é a figura formada pelos dois semiplanos.

Medida: Tome um ponto P na aresta r. Trace em α uma semirreta PA ⊥ r e em β uma semirreta PB ⊥ r. O ângulo diedro mede ∠APB.

O ângulo diedro é reto quando mede 90° — os planos são perpendiculares.

Seção reta: O plano perpendicular à aresta de um diedro que contém as duas semirretas perpendiculares é chamado de seção reta do diedro. O ângulo do diedro é igual ao ângulo da seção reta.

Exemplo resolvidoMédio

Num cubo de aresta a, calcule o ângulo diedro formado entre uma face lateral e a base ao longo de uma aresta.

1

A face lateral e a base do cubo são planos perpendiculares entre si (cada ângulo interno é 90°).

2

Traçando as perpendiculares à aresta em ambos os planos, obtemos dois segmentos que formam um ângulo de 90°.

Ângulo diedro = 90°

Projeção ortogonal

Definição — Projeção ortogonal de um ponto

A projeção ortogonal de um ponto A sobre um plano α é o pé P da perpendicular traçada de A até α. P é o ponto de α mais próximo de A.

A projeção ortogonal de uma figura F sobre α é o conjunto das projeções de todos os pontos de F.

Teorema do ângulo mínimo

De todos os segmentos traçados de um ponto A externo a um plano α até pontos de α, o menor é a perpendicular AP, onde P é a projeção ortogonal de A.

▶ Ver demonstração

1

Seja Q diferente de P qualquer ponto de α. O triângulo APQ é retângulo em P, pois AP é perpendicular a α.

2

Pelo Teorema de Pitágoras: AQ² = AP² + PQ² > AP². Logo AQ > AP. [fim]

Projeção de segmentos

A projeção ortogonal de um segmento sobre um plano é outro segmento, possivelmente degenerado em um ponto se o segmento for perpendicular ao plano.

          proj = AB · cos θ
        

Se um segmento AB forma ângulo θ com o plano, sua projeção ortogonal no plano mede

AB \cdot cos θ

.

Exemplo resolvidoMédio

Uma escada de 5 m apoia o topo numa parede vertical e faz 60° com o chão horizontal. Qual é o comprimento da projeção da escada no chão?

1

A escada faz 60° com o plano do chão. A projeção é a base do triângulo retângulo.

2

proj = 5 · cos 60° = 5 · 1/2 = 2,5 m

Projeção = 2,5 m

Distâncias no espaço

Ideia central

A distância entre dois objetos geométricos é o comprimento do menor segmento que liga um ao outro. Esse segmento mínimo aparece quando há perpendicularidade.

Situação	Como medir	Observação
Ponto a plano	comprimento da perpendicular ao plano	é o menor segmento possível
Ponto a reta	comprimento da perpendicular à reta	vira problema de triângulo retângulo
Reta paralela a plano	distância de qualquer ponto da reta ao plano	é constante
Planos paralelos	segmento perpendicular comum	qualquer um deles tem o mesmo comprimento
Retas reversas	perpendicular comum	esse segmento define a distância entre as duas

Perpendicular comum

Entre duas retas reversas existe um único segmento de comprimento mínimo perpendicular a ambas. Ele determina a distância entre essas retas.

Em cubos e paralelepípedos, essa perpendicular comum costuma aparecer como um segmento interno que liga duas arestas opostas não coplanares.

Exemplo resolvidoMédio

Um ponto A está a 13 cm do plano α. A projeção ortogonal de A no plano é P, e um ponto Q do plano satisfaz PQ = 5 cm. Quanto mede AQ?

1

Como AP é perpendicular ao plano, então AP é perpendicular a PQ. O triângulo APQ é retângulo em P.

2

AQ² = AP² + PQ² = 13² + 5².

3

AQ = √194 cm.

AQ = √194 cm

Padrão importante: quase toda questão de distância no espaço vira um triângulo retângulo depois que você identifica a projeção correta.

Erros comuns

Achar que dois pontos determinam um plano.
Confundir retas paralelas com retas reversas.
Achar que retas que não se cruzam são sempre paralelas.
Esquecer que retas reversas não são coplanares.
Confundir reta contida no plano com reta paralela ao plano.
Achar que uma reta perpendicular a apenas uma reta do plano já é perpendicular ao plano.
Medir ângulo diedro usando qualquer ângulo desenhado na figura.
Esquecer que a distância mínima envolve perpendicularidade.
Não identificar a projeção ortogonal antes de aplicar Pitágoras.

Resumo para prova

Dois pontos determinam uma reta, não um plano.
Três pontos não colineares determinam um plano.
Uma reta e um ponto fora dela determinam um plano.
Duas retas concorrentes determinam um plano.
Duas retas paralelas distintas determinam um plano.
Retas reversas não são paralelas, não se cruzam e não são coplanares.
Uma reta é perpendicular a um plano se for perpendicular a duas retas concorrentes desse plano.
Dois planos secantes se cruzam em uma reta.
Ângulo diedro é o ângulo entre dois planos.
Projeção ortogonal usa perpendicularidade.
Distância no espaço quase sempre vira triângulo retângulo.

Exercícios

Exercício 1 - Determinação de plano

Qual das situações abaixo NÃO determina um único plano?

Exercício 2 - Retas reversas

Duas retas reversas no espaço:

Exercício 3 - Perpendicular ao plano

Para provar que uma reta r é perpendicular ao plano α, é suficiente mostrar que r é perpendicular a:

Exercício 4 - Projeção

Um segmento AB = 10 cm faz ângulo de 30° com sua projeção no plano. Quanto mede a projeção?