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📦 Geometria Espacial · Cap. 2

Prismas e Pirâmides

Cubo, paralelepípedo, prismas regulares, pirâmides e o Tetraedro Regular — áreas totais, volumes e as diagonais espaciais com demonstrações completas.

Prismas — definições

Definição — Prisma

Um prisma é um sólido limitado por duas bases congruentes e paralelas (polígonos) e por faces laterais que são paralelogramos.

Reto: as arestas laterais são perpendiculares às bases. Oblíquo: as arestas laterais são inclinadas em relação às bases. Regular: é reto e a base é um polígono regular.

Fórmulas gerais do prisma
Área lateralA_lat = P_base · h
Área totalA_tot = A_lat + 2 · A_base
VolumeV = A_base · h
Prisma oblíquo: Para o volume, usa-se a altura h (distância entre as bases), não o comprimento da aresta lateral. A fórmula V = A_base · h vale para qualquer prisma, reto ou oblíquo — isso é uma consequência do Princípio de Cavalieri.
Cubo
🎲
Cubo
Prisma reto de base quadrada com todas as arestas iguais

Propriedades

  • 6 faces quadradas congruentes.
  • 12 arestas de mesmo comprimento a.
  • 8 vértices.
  • Diagonal da face: d_f = a√2
  • Diagonal espacial: d = a√3
  • Toda face é perpendicular às quatro faces adjacentes.

Fórmulas (aresta a)

Área lateralA_lat = 4a²
Área totalA_tot = 6a²
VolumeV = a³
Diag. faced_f = a√2
Diag. espaciald = a√3
Demonstração — diagonal espacial d = a√3
A diagonal espacial do cubo liga dois vértices opostos e atravessa o interior do sólido.
▶ Ver demonstração
1
Diagonal da face da base: d_f = √(a²+a²) = a√2
2
A diagonal espacial d é a hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos d_f (diagonal da base) e a (altura do cubo).
3
d = √(d_f² + a²) = √(2a² + a²) = √(3a²) = a√3. ■
a a a d=a√3 d_f=a√2
Diagonal espacial d = a√3 e diagonal da face d_f = a√2
Exemplo resolvidoMédio
A diagonal espacial de um cubo mede 6√3 cm. Calcule a aresta, a área total e o volume.
1
d = a√3 → a = d/√3 = 6√3/√3 = 6 cm
2
A_tot = 6a² = 6·36 = 216 cm²
3
V = a³ = 216 cm³
a=6 cm | A_tot=216 cm² | V=216 cm³
Paralelepípedo
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Paralelepípedo Reto
Caixa retangular — base retangular, faces laterais retângulos

Propriedades

  • 6 faces retangulares (3 pares opostos congruentes).
  • Dimensões: comprimento a, largura b, altura c.
  • Diagonal: d = √(a²+b²+c²)
  • 12 arestas (4 de cada comprimento).
  • O cubo é um caso especial com a = b = c.

Fórmulas (a × b × c)

Área totalA = 2(ab+bc+ca)
VolumeV = a·b·c
Diagonald = √(a²+b²+c²)
Demonstração — diagonal d = √(a²+b²+c²)
A diagonal espacial do paralelepípedo de dimensões a, b, c.
▶ Ver demonstração
1
Diagonal da base: d_base = √(a²+b²)
2
A diagonal espacial é a hipotenusa do triângulo retângulo com catetos d_base e c (altura).
3
d = √(d_base²+c²) = √(a²+b²+c²). ■
Exemplo resolvidoDifícil
Um paralelepípedo tem dimensões 3, 4 e 5 cm. Calcule a diagonal espacial, a área total e o volume.
1
d = √(9+16+25) = √50 = 5√2 cm
2
A = 2(3·4 + 4·5 + 5·3) = 2(12+20+15) = 2·47 = 94 cm²
3
V = 3·4·5 = 60 cm³
d=5√2 cm | A=94 cm² | V=60 cm³
Prisma regular

Prisma regular genérico

Prisma regular de base n-gonal

Base é um polígono regular de n lados com lado ℓ e apótema a. A altura do prisma é h.

Prisma regular — base n-gonal (lado ℓ, apótema a, altura h)
Área da base A_b = n·ℓ·a2 = P·a2
Área lateralA_lat = n·ℓ·h = P·h
Área totalA_tot = A_lat + 2·A_b
VolumeV = A_b · h
Exemplo resolvidoDifícil
Um prisma reto tem base hexagonal regular com lado 4 cm e altura 10 cm. Calcule a área total e o volume.
1
Apótema do hexágono: a = ℓ·√3/2 = 4·√3/2 = 2√3 cm
2
Área da base: A_b = P·a/2 = (6·4)·2√3/2 = 24√3 cm²
3
Área lateral: A_lat = P·h = 24·10 = 240 cm²
4
A_tot = 240 + 2·24√3 = 240 + 48√3 ≈ 323,1 cm²
5
V = A_b·h = 24√3·10 = 240√3 ≈ 415,7 cm³
A_tot = (240+48√3) cm² | V = 240√3 cm³
Diagonais e secoes

Diagonais e secoes em prismas

Leitura metrica

Em prismas retos, quase toda relacao metrica importante nasce de um triangulo retangulo: a diagonal espacial combina a diagonal da base com a altura, e muitas secoes planas viram retangulos.

SituacaoResultadoIdeia
Prisma reto qualquerd = √(d_base2 + h2)a diagonal espacial usa diagonal da base e altura
Cubod = a√3caso particular com d_base = a√2
Paralelepipedo retod = √(a2+b2+c2)duas aplicacoes seguidas de Pitagoras
Secao paralela a basepoligono congruente a basea secao copia a base no prisma
Secao perpendicular a base em prisma retoretanguloo plano corta arestas laterais perpendiculares a base
Teorema - secao paralela a base
Em qualquer prisma, toda secao feita por um plano paralelo a base e congruente a base.
Isso explica por que o volume do prisma depende apenas da area da base e da altura: as fatias horizontais tem sempre a mesma area.
Exemplo resolvidoMedio
Um prisma reto tem base retangular 6 x 8 cm e altura 12 cm. Calcule a diagonal da base, a diagonal espacial e a area da secao obtida por um plano perpendicular a base que passa pela diagonal da base.
1
Diagonal da base: d_base = √(62 + 82) = 10 cm.
2
Diagonal espacial: d = √(102 + 122) = √244 = 2√61 cm.
3
A secao pedida e um retangulo de lados 10 e 12, logo A_sec = 120 cm2.
d_base = 10 cm | d = 2√61 cm | A_sec = 120 cm2
Pirâmides

Pirâmides — definições

Definição — Pirâmide

Uma pirâmide é um sólido limitado por uma base poligonal e por faces laterais triangulares que convergem num vértice único (ápice).

Regular: a base é um polígono regular e o ápice projeta-se no centro da base. As faces laterais são triângulos isósceles congruentes.

Apótema da pirâmide: altura de qualquer face lateral (triângulo isósceles). Apótema da base: raio da circunferência inscrita na base.

Pirâmide regular — base n-gonal, apótema da pirâmide A_p, altura H
Área lateral A_lat = P · A_p2
Área totalA_tot = A_lat + A_base
Volume V = A_base · H3
Demonstração — V = A_base·H/3
O volume de qualquer pirâmide é um terço do volume do prisma de mesma base e mesma altura.
▶ Ver demonstração (decomposição)
1
Um cubo pode ser decomposto em 3 pirâmides de base quadrada congruentes (decomposição de Euclides).
2
Volume do cubo = a³ = 3 · V_pirâmide → V_pirâmide = a³/3 = (a²·a)/3 = A_base·H/3.
3
Para pirâmide de base qualquer: pelo Princípio de Cavalieri, a fórmula vale para qualquer base poligonal e qualquer altura. ■
Exemplo resolvidoMédio
Uma pirâmide regular de base quadrada tem lado da base 6 cm e altura 4 cm. Calcule o apótema da pirâmide, a área total e o volume.
1
Apótema da base (quadrado): a_b = ℓ/2 = 3 cm
2
Apótema da pirâmide (hipotenusa do triângulo do corte central): A_p = √(H²+a_b²) = √(16+9) = 5 cm
3
A_lat = P·A_p/2 = 24·5/2 = 60 cm²
4
A_tot = 60 + 36 = 96 cm²
5
V = A_b·H/3 = 36·4/3 = 48 cm³
A_p=5 cm | A_tot=96 cm² | V=48 cm³
Secoes na piramide

Secoes e semelhanca na piramide

Plano paralelo a base

Quando um plano corta uma piramide paralelamente a base, a secao obtida e semelhante a base. Essa ideia e central para comparar comprimentos, areas e volumes.

GrandezaRazaoConsequencia
Comprimentos linearesktodos os lados da secao sao multiplicados por k
Areask2a area da secao varia com o quadrado da razao
Volumesk3volumes de solidos semelhantes seguem o cubo da razao
Relacao de semelhanca
Se a secao paralela a base esta a uma distancia x do vertice numa piramide de altura total H, entao a razao linear entre a secao e a base vale k = x/H.
Dai seguem imediatamente: A_sec/A_base = (x/H)2 e V_menor/V_total = (x/H)3.
Exemplo resolvidoDificil
Uma piramide tem altura 15 cm e base de area 180 cm2. Um plano paralelo a base corta a piramide a 10 cm do vertice. Calcule a area da secao e o volume da piramide menor.
1
Razao linear: k = 10/15 = 2/3.
2
Area da secao: A_sec = 180 . (2/3)2 = 80 cm2.
3
Volume total: V = 180 . 15 / 3 = 900 cm3. Volume da piramide menor: V_menor = 900 . (2/3)3 = 800/3 cm3.
A_sec = 80 cm2 | V_menor = 800/3 cm3
Tetraedro Regular

Tetraedro Regular

Definição — Tetraedro Regular

O tetraedro regular é a pirâmide de base triangular equilátera cujas quatro faces são triângulos equiláteros congruentes. É um dos cinco sólidos platônicos.

Todas as arestas têm o mesmo comprimento a. Tem 4 faces, 6 arestas, 4 vértices.

Tetraedro Regular — aresta a
Área de uma face A_face = a²√34
Área total A_tot = a²√3
Altura H = a·√63 = a√63
Volume V = a³√212
Raio circunscrito R = a√64
Raio inscrito r = a√612 = R3
Demonstração — Altura H = a√6/3
Altura do tetraedro regular de aresta a em função de a.
▶ Ver demonstração
1
A base é um triângulo equilátero de aresta a. O circuncentro da base dista R_b = a/√3 = a√3/3 de cada vértice.
2
A aresta lateral (de ápice a vértice da base) tem comprimento a. Pelo Teorema de Pitágoras no triângulo do ápice: H² + R_b² = a²
3
H² = a² − a²/3 = 2a²/3 → H = a√(2/3) = a√6/3. ■
Exemplo resolvidoDifícil
Um tetraedro regular tem aresta 6 cm. Calcule a altura, o volume e o raio da esfera inscrita.
1
H = 6√6/3 = 2√6 ≈ 4,899 cm
2
Área da base: A_b = 36√3/4 = 9√3 cm²
3
V = A_b·H/3 = 9√3·2√6/3 = 6√18 = 18√2 ≈ 25,46 cm³
4
r = R/3 = (6√6/4)/3 = 6√6/12 = √6/2 ≈ 1,225 cm
H=2√6 cm | V=18√2 cm³ | r=√6/2 cm
Princípio de Cavalieri

Princípio de Cavalieri

Princípio de Cavalieri
Se dois sólidos têm a mesma altura e se, para toda altura h, as secções transversais paralelas à base têm áreas iguais, então os dois sólidos têm o mesmo volume.
Em outras palavras: volume depende apenas da área de cada corte horizontal, não da forma do sólido.
Aplicação imediata: Um prisma oblíquo e um prisma reto com mesma base e mesma altura têm igual volume V = A_base · h. Isso justifica usar a altura (distância entre bases) e não o comprimento da aresta lateral.
SólidoÁrea totalVolume
Cubo (aresta a)6a²a³
Paralelepípedo (a×b×c)2(ab+bc+ca)abc
Prisma regular (P, a, h)P·h + P·aP·a·h/2
Pirâmide regular (A_b, A_p, H)P·A_p/2 + A_bA_b·H/3
Tetraedro regular (aresta a)a²√3a³√2/12
Exercícios

Exercícios

Exercício 1 — Cubo
Um cubo tem área total 96 cm². Qual é o seu volume?
Exercício 2 — Paralelepípedo
Qual é a diagonal espacial de um paralelepípedo com dimensões 2, 6 e 9 cm?
Exercício 3 — Pirâmide
Uma pirâmide de base quadrada 10×10 cm tem volume 500 cm³. Qual é sua altura?
Exercício 4 — Tetraedro
Num tetraedro regular de aresta a, a razão R/r (raio circunscrito / raio inscrito) vale: