Definição algébrica e geométrica
No produto escalar, o resultado é um número, não um vetor.
Forma algébrica
u·v = u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃
Forma geométrica
u·v = |u||v|cosθ
Exemplo simples
u=(1,2), v=(3,4).
u·v=1·3+2·4=11.
Como cai: em vestibulares e provas completas, produto escalar costuma aparecer em questões de ângulo entre vetores, ortogonalidade e projeção.
Ângulo e ortogonalidade
Se o ângulo entre os vetores é 90°, cos90°=0, então o produto escalar é zero. Por isso, produto escalar zero indica vetores perpendiculares, desde que nenhum deles seja nulo.
Ângulo entre vetores
cosθ = (u·v)/(|u||v|)
Exemplo
u=(1,0), v=(0,2).
u·v=0. Logo, são ortogonais e formam 90°.
Produto escalar zero não significa que os vetores são nulos. Significa que eles são perpendiculares, se ambos forem não nulos.
Projeção vetorial
Projeção é como a sombra de um vetor sobre a direção de outro. É uma aplicação intermediária do produto escalar.
Projeção de u em v
proj_v u = ((u·v)/|v|²)v
Exercícios
Ortogonalidade
u=(2,1) e v=(3,-6) são:
Produto escalar
O produto escalar de (1,2,3) e (4,0,-1) é: