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Trilha 5 · avançado

Tópicos avançados de pontos e retas

Estude esta parte depois de dominar plano cartesiano, equação da reta e posições relativas. Ela é mais útil em vestibulares, provas completas e problemas mais algébricos.

Tópico avançado: divisão de segmento

Esse conteúdo aparece mais em vestibulares, provas completas e provas com geometria analítica mais forte. Se você está começando, domine primeiro distância e ponto médio.

Divisão interna AP:PB = m:n
P = ((m·x₂+n·x₁)/(m+n), (m·y₂+n·y₁)/(m+n))

Se AP:PB = m:n, o ponto P fica mais próximo de B quando m é menor e mais próximo de A quando n é menor. Por isso é importante não decorar sem entender.

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Pegadinha: inverter os pesos da razão. Sempre confira se o ponto encontrado está entre A e B na divisão interna.

Baricentro por coordenadas

Esse resultado é útil em questões de triângulo no plano cartesiano, mas não é o primeiro ponto da trilha.

Baricentro de A, B e C
G = ((xA+xB+xC)/3, (yA+yB+yC)/3)

Tópico avançado: área por coordenadas

Quando conhecemos as coordenadas dos três vértices de um triângulo, podemos calcular a área sem desenhar a altura. Para isso, usamos uma fórmula com coordenadas.

A(0,0) B(4,0) C(1,3)
O método por coordenadas usa os três vértices. Se a área der zero, os pontos estão alinhados.
Shoelace para triângulo
A = 1/2 |x₁(y₂-y₃)+x₂(y₃-y₁)+x₃(y₁-y₂)|
Exemplo resolvido
Calcule a área de A(0,0), B(4,0), C(1,3).
A = 1/2 |0(0-3)+4(3-0)+1(0-0)| = 6.
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Pegadinha: se o resultado der zero, os três pontos estão alinhados e não formam triângulo.

Ângulo entre retas

Este conteúdo é mais comum em vestibulares, provas completas e questões mais fortes. Para começar, o mais importante é saber paralelismo e perpendicularidade.

Use essa fórmula quando a questão pedir o ângulo entre duas retas e elas não forem paralelas nem perpendiculares.

Ângulo entre retas
tg θ = |(m₁ - m₂)/(1 + m₁m₂)|
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Atalho: se m₁·m₂ = -1, as retas são perpendiculares e o ângulo é 90°. Não precisa usar a fórmula.

Exercícios avançados

Ângulo entre retas
Se m₁ = 1 e m₂ = 2, então tg do ângulo agudo entre as retas é:
Shoelace
A área do triângulo A(0,0), B(4,0), C(1,3) é:
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