Antes da fórmula: forma geral
Para usar distância ponto-reta, a reta precisa estar na forma geral ax + by + c = 0.
Pegadinha: não use a fórmula se a reta estiver em y = mx + n sem antes transformar para ax + by + c = 0.
Distância de ponto a reta
Distância de P(x₀,y₀) a r: ax + by + c = 0
d = |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²)
Exemplo simples
Calcule a distância do ponto P(1,2) à reta 3x + 4y - 6 = 0.
1Substitua na fórmula: |3·1 + 4·2 - 6| / √(3²+4²).
2Numerador: |3+8-6| = 5. Denominador: √25 = 5.
d = 1.
Modelo com parâmetro
O ponto P(k,2) está a distância 2 da reta 3x + 4y - 5 = 0. Encontre k.
1d = |3k + 4·2 - 5|/√(3²+4²).
22 = |3k+3|/5, então |3k+3| = 10.
3k+3 = 10 ou 3k+3 = -10. Logo k = 7/3 ou k = -13/3.
Prova: quando aparece módulo, normalmente surgem duas respostas.
Distância entre retas paralelas
Para retas paralelas na forma ax + by + c₁ = 0 e ax + by + c₂ = 0, a distância é constante.
Paralelas
d = |c₁ - c₂| / √(a² + b²)
Exemplo
Calcule a distância entre r: x - y = 0 e s: x - y + 4 = 0.
d = |0 - 4|/√(1²+(-1)²) = 4/√2 = 2√2.
Exercícios
Intermediário
A distância do ponto (2,1) à reta 3x + 4y - 5 = 0 é:
Paralelas
A distância entre x - y = 0 e x - y + 4 = 0 é: