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📊 Geometria Analítica · Cap. 3

Cônicas — Parábola, Elipse e Hipérbole

As três curvas geradas pela interseção de um cone com um plano — com equações reduzidas, elementos geométricos, focos, diretriz e excentricidade.

O que são cônicas

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Apolônio de Perga (262–190 a.C.) catalogou as cônicas em seu tratado em 8 livros. Dois milênios depois, Kepler descobriu que os planetas orbitam o Sol em elipses (1609), e Newton explicou isso com sua lei da gravitação — as cônicas saíram da abstração para governar o universo.
Definição — Cônica

Uma cônica é a curva de interseção de um cone de duas napas com um plano. Dependendo do ângulo do plano com o eixo do cone, obtém-se:

• Plano ∥ a uma geratriz → Parábola (uma napa, aberta)

• Plano corta uma napa → Elipse (curva fechada; círculo é caso especial)

• Plano corta as duas napas → Hipérbole (dois ramos)

Parábola
∪
Parábola
Lugar geométrico equidistante de foco e diretriz

Elementos

  • Foco F: ponto fixo interior.
  • Diretriz d: reta fixa perpendicular ao eixo.
  • Vértice V: ponto médio entre F e d; ponto de mínima/máxima.
  • Eixo: reta que passa por F perpendicular a d.
  • Parâmetro p: distância de F à diretriz (= 2·dist(V,F)).
  • Todo ponto P satisfaz: d(P,F) = d(P,d).

Equações canônicas

Vert. (↑↓)x² = 4py
Horiz. (→←)y² = 4px
Foco (↑)F = (0, p)
Diretriz (↑)y = −p
Foco (→)F = (p, 0)
Diretriz (→)x = −p
Dedução — x² = 4py
A equação da parábola de vértice na origem, foco F(0,p) e diretriz y = −p.
▶ Ver demonstração
1
Para P(x,y) na parábola: d(P,F) = d(P,d). d(P,F) = √(x²+(y−p)²). d(P,d) = |y+p|.
2
Igualando e elevando ao quadrado: x²+(y−p)² = (y+p)²
3
x²+y²−2py+p² = y²+2py+p² → x² = 4py. ■
F(0,p) y=−p V P d₁ d₂ d₁=d₂
Parábola x²=4py: todo ponto P equidistante do foco F e da diretriz y=−p
Exemplo resolvidoDifícil
A parábola y² = 8x tem foco em F. A corda focal perpendicular ao eixo passa por F. Calcule seu comprimento (lado reto).
1
y²=8x → 4p=8 → p=2. Foco: F=(2,0).
2
Corda focal: x=2. Substitua: y²=8·2=16 → y=±4.
3
Comprimento = 4−(−4) = 8 = 4p (o lado reto mede sempre 4p). ■
Lado reto = 4p = 8
Elipse
◯
Elipse
Soma das distâncias aos focos = constante

Elementos (a > b > 0, c² = a²−b²)

  • Focos F₁, F₂: d(P,F₁)+d(P,F₂) = 2a para todo P.
  • Semi-eixo maior a: metade do eixo maior.
  • Semi-eixo menor b: metade do eixo menor.
  • Distância focal c: dist. do centro ao foco.
  • Relação: c² = a² − b² (triângulo focal).
  • Excentricidade: e = c/a ∈ (0,1).

Equações canônicas

Eixo em x x²a²+ y²b²=1
Eixo em y x²b²+ y²a²=1
Focos (x)(±c, 0)
c² =a² − b²
Excentr.e = c/a < 1
Dedução — x²/a² + y²/b² = 1
Elipse com focos F₁(−c,0) e F₂(c,0) e soma das distâncias 2a.
▶ Ver demonstração
1
d(P,F₁)+d(P,F₂) = 2a. Isole uma raiz e eleve ao quadrado: √((x+c)²+y²) = 2a − √((x−c)²+y²)
2
Elevando ao quadrado e simplificando: (x+c)²+y² = 4a²−4a√((x−c)²+y²)+(x−c)²+y²
3
Simplifica: 4cx−4a² = −4a√((x−c)²+y²) → a²−cx = a√((x−c)²+y²)
4
Eleva novamente ao quadrado: (a²−cx)² = a²((x−c)²+y²) → a⁴−2a²cx+c²x² = a²x²−2a²cx+a²c²+a²y²
5
Reorganiza: (a²−c²)x² + a²y² = a²(a²−c²). Dividindo por a²(a²−c²): x²/a² + y²/b² = 1 onde b²=a²−c². ■
Exemplo resolvidoDifícil
Uma elipse tem focos em (±3, 0) e passa pelo ponto (0, 4). Determine a equação, a excentricidade e o lado reto.
1
c = 3. O ponto (0,4) satisfaz x²/a²+y²/b²=1: 0+16/b²=1 → b²=16 → b=4.
2
a²=b²+c²=16+9=25 → a=5. Equação: x²/25+y²/16=1.
3
Excentricidade: e=c/a=3/5=0,6. Lado reto: ℓ=2b²/a=2·16/5=32/5.
x²/25+y²/16=1 | e=0,6 | ℓ=32/5
Hipérbole
⊃⊂
Hipérbole
Módulo da diferença das distâncias aos focos = constante

Elementos (c² = a²+b²)

  • Focos F₁, F₂: |d(P,F₁)−d(P,F₂)| = 2a.
  • Semi-eixo real a: distância do centro ao vértice.
  • Semi-eixo imaginário b: define as assíntotas.
  • Relação: c² = a² + b² (ao contrário da elipse!).
  • Assíntotas: y = ±(b/a)x.
  • Excentricidade: e = c/a > 1.

Equações canônicas

Eixo em x x²a²− y²b²=1
Eixo em y y²a²− x²b²=1
Focos (x)(±c, 0)
c² =a² + b²
Assíntotasy = ±(b/a)x
Excentr.e = c/a > 1
Hipérbole equilátera: Quando a = b, as assíntotas são perpendiculares (y = ±x). A hipérbole xy = k (eixos nos bissectores) é uma hipérbole equilátera girada 45°.
Exemplo resolvidoDifícil
A hipérbole tem focos (±5,0) e excentricidade e=5/3. Encontre a equação e as assíntotas.
1
c=5, e=c/a=5/3 → a=3, a²=9.
2
b²=c²−a²=25−9=16. Equação: x²/9−y²/16=1.
3
Assíntotas: y=±(b/a)x=±(4/3)x.
x²/9 − y²/16 = 1 | assíntotas: y = ±4x/3
Excentricidade

Excentricidade — unificando as cônicas

Definição unificada
Uma cônica pode ser definida como o lugar geométrico dos pontos P tais que d(P,F)/d(P,d) = e, onde F é o foco, d é a diretriz e e é a excentricidade.
e = 0: Círculo  |  e = 1: Parábola  |  0 < e < 1: Elipse  |  e > 1: Hipérbole
CônicaRelação c,a,bExcentricidadeAssíntotas
Círculoc=0, a=b=re=0Nenhuma
Parábolap (parâmetro)e=1Nenhuma
Elipsec²=a²−b², a>b0<e=c/a<1Nenhuma
Hipérbolec²=a²+b²e=c/a>1y=±(b/a)x
Identificação

Identificação da cônica pela equação geral

Equação geral de segunda ordem

Toda cônica (não degenerada) pode ser escrita como: Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0

O discriminante B² − 4AC determina o tipo (quando os eixos são paralelos aos eixos coordenados, B=0):

CondiçãoCônica
A = C (e B = 0)Circunferência (ou ponto, ou vazia)
A·C = 0 (um deles é zero)Parábola
A·C > 0 (mesmo sinal)Elipse
A·C < 0 (sinais opostos)Hipérbole
Exemplo resolvidoMédio
Identifique e reduza à forma canônica: 4x² + 9y² − 8x + 36y + 4 = 0.
1
A=4, C=9, A·C=36>0 e A≠C → elipse.
2
Complete quadrados: 4(x²−2x) + 9(y²+4y) = −4
3
4(x−1)²−4 + 9(y+2)²−36 = −4 → 4(x−1)²+9(y+2)² = 36
4
Divida por 36: (x−1)²/9 + (y+2)²/4 = 1. Centro (1,−2), a=3, b=2.
(x−1)²/9 + (y+2)²/4 = 1 — elipse com centro (1,−2)
Exercícios

Exercícios

Exercício 1 — Parábola
A parábola x² = 12y tem foco em:
Exercício 2 — Elipse
Para a elipse x²/25+y²/9=1, a excentricidade é:
Exercício 3 — Hipérbole
As assíntotas da hipérbole x²/4−y²/9=1 são:
Exercício 4 — Identificação
A equação 2x² − 3y² + 4x − 6y + 1 = 0 representa: