Forma geral
A forma geral não mostra o centro e o raio de forma imediata. Por isso, em prova, quase sempre você precisa completar quadrados ou usar as fórmulas do centro.
Forma geral da circunferência
x² + y² + Dx + Ey + F = 0
- D acompanha x;
- E acompanha y;
- F é o termo constante;
- os coeficientes de x² e y² devem ser iguais;
- não pode haver termo xy para ser uma circunferência comum.
Centro pela forma geral
C = (-D/2, -E/2)
Pegadinha: nem toda equação do segundo grau representa uma circunferência. x²+y²-4x+2y-1=0 pode representar circunferência; x²+2y²-4x+2y-1=0 não é circunferência, pois os coeficientes de x² e y² são diferentes.
Completar quadrados
Completar quadrados serve para transformar a forma geral em uma forma onde o centro e o raio aparecem claramente.
| Expressão | Quadrado completo |
|---|---|
| x² - 6x | (x-3)² - 9 |
| y² + 4y | (y+2)² - 4 |
Regra: o número que completa o quadrado é sempre metade do coeficiente, elevado ao quadrado.
Exemplo completo
Exemplo resolvido
Determine centro e raio: x² + y² - 6x + 4y - 3 = 0.
1Agrupe x com x e y com y: (x²-6x)+(y²+4y)-3=0.
2Passe o termo constante: (x²-6x)+(y²+4y)=3.
3Complete em x: x²-6x=(x-3)²-9.
4Complete em y: y²+4y=(y+2)²-4.
5(x-3)²-9+(y+2)²-4=3, então (x-3)²+(y+2)²=16.
Centro: (3,-2). Raio: 4.
Como cai: esse é um modelo clássico de provas completas e vestibulares: a questão dá a forma geral e pede centro, raio ou posição em relação a uma reta.
Exercícios
Centro
Centro da circunferência x²+y²+4x−6y+4=0:
Completar quadrados
A equação x² + y² - 8x + 10y + 16 = 0 tem centro e raio:
Verificação
Qual equação não representa uma circunferência comum?