Propriedades fundamentais
As propriedades dos logaritmos permitem mudar a forma da expressão. Às vezes queremos expandir para separar fatores. Em outras, queremos condensar para juntar vários logaritmos em um só.
Antes de usar qualquer propriedade, confira se os argumentos são positivos e se a base é válida.
- Produto logb(MN)=logbM+logbN
- Quociente logb(M/N)=logbM-logbN
- Potência logb(Mk)=k·logbM
- Raiz logb(M1/2)=1/2 · logbM
- Forma geral logb(Mr)=r·logbM
Essas propriedades servem para condensar ou expandir expressões. O sentido escolhido depende do problema. Expandir ajuda quando queremos simplificar fatores. Condensar ajuda quando queremos resolver equações com vários logaritmos.
Expansão e condensação
As condições x>0 e y>0 são necessárias para que os logaritmos separados existam.
Por que as propriedades funcionam
As propriedades dos logaritmos vêm das propriedades das potências. Como logaritmo mede expoente, multiplicar potências de mesma base corresponde a somar expoentes.
Essa demonstração explica a propriedade do produto. As propriedades do quociente e da potência seguem a mesma ideia, usando regras de expoentes.
Falso: log(a-b)=log a-log b.
Correto: log(ab)=log a+log b e log(a/b)=log a-log b, respeitando domínio.
Condições das propriedades
As propriedades não autorizam usar logaritmo de número negativo. Ao separar produto ou quociente, cada novo argumento precisa continuar positivo. O fato de um produto ser positivo não significa que cada fator seja positivo.
| Transformação | Condição necessária |
|---|---|
| log(MN)=log M+log N | M>0 e N>0 |
| log(M/N)=log M-log N | M>0 e N>0 |
| log(Mk)=klog M | M>0, se a expressão for separada desse modo |
| log(√M)=1/2log M | M>0 para a forma com log M. Se M=0, a raiz existe, mas log(0) não existe. |
Mudança de base
Mudança de base permite comparar logaritmos em bases diferentes e transformar expressões em uma mesma linguagem. A base intermediária a pode ser escolhida conforme a situação.
Use mudança de base quando a calculadora só tem log decimal ou ln, quando as bases dos logaritmos são diferentes, quando o problema pede comparação ou quando aparece uma base mais conveniente.
| Escolha da base intermediária | Quando ajuda |
|---|---|
| Base 10 | Estimativas decimais e ordem de grandeza. |
| Base e, isto é, ln | Modelos com crescimento contínuo, cálculo e aplicações mais avançadas. |
| Uma base já presente no problema | Simplifica expressões com potências relacionadas. |
Identidades úteis
- Recíproca logab = 1/logba
- Cadeia logab · logbc = logac
- Base potência logam(bn) = (n/m)logab
- Mesmo valor se logbM=logbN, então M=N
A identidade recíproca vem diretamente da mudança de base. Por exemplo, se log28=3, então log82=1/3.
A identidade em cadeia junta mudanças de base: log23 · log39 = log29. Como log39=2, isso também fica 2log23=log29.
A identidade “mesmo valor” pertence muito às equações logarítmicas: desde que a base seja a mesma e válida, e M>0, N>0, se logbM=logbN, então M=N.
Logaritmo natural
O logaritmo natural é o logaritmo de base e. O número e é uma constante matemática aproximadamente igual a 2,718. Ele aparece muito em modelos de crescimento contínuo, mas suas propriedades são as mesmas dos outros logaritmos.
- Definição ln(x)=logex
- Base ln(e)=1
- Unidade ln(1)=0
- Inversa eln x=x, para x>0
- Potência ln(ex)=x
ln(x) só existe, nos reais, para x>0. Em muitos materiais, log(x) representa logaritmo decimal, isto é, base 10. Já ln(x) representa logaritmo natural, base e. Sempre observe a convenção usada no material.
Como aparece em questões
- Expandir expressões logarítmicas.
- Condensar vários logaritmos em um só.
- Simplificar logaritmos com potências.
- Usar mudança de base.
- Comparar logaritmos em bases diferentes.
- Resolver equações usando propriedades.
- Identificar propriedades falsas.
- Cuidar do domínio ao separar logaritmos.
Erros comuns
- Achar que log(a+b)=log a+log b.
- Achar que log(a-b)=log a-log b.
- Usar log(MN)=logM+logN sem garantir M>0 e N>0.
- Transformar log(x2) em 2logx sem garantir x>0.
- Esquecer que a base deve ser positiva e diferente de 1.
- Esquecer que o argumento deve ser positivo.
- Confundir logb(b)=1 com logb(1)=0.
- Usar mudança de base com base intermediária inválida.
- Esquecer de voltar ao domínio depois de simplificar expressões.
- Confundir log com ln sem observar a convenção.
Resumo para prova
- Produto vira soma: logb(MN)=logbM+logbN.
- Quociente vira diferença: logb(M/N)=logbM-logbN.
- Potência vira fator: logb(Mk)=klogbM.
- Raiz pode ser escrita como potência fracionária.
- As propriedades exigem argumentos positivos.
- log(a+b) não se separa.
- log(a-b) não se separa.
- Mudança de base: logbN=logaN/logab.
- logab=1/logba.
- logab · logbc = logac.
- ln(x)=logex.
- ln(e)=1 e ln(1)=0.
- Sempre confira domínio antes e depois de manipular logaritmos.
Checklist antes de aplicar propriedades
- A base é positiva?
- A base é diferente de 1?
- Todos os argumentos são positivos?
- Estou separando produto ou soma?
- Estou separando quociente ou diferença?
- Posso mover o expoente para frente?
- A transformação muda o domínio?
- Preciso usar mudança de base?