Definição e Domínio dos Logaritmos

Definição

O logaritmo de $N$ na base $b$ é o expoente que colocamos em $b$ para obter $N$ .

Em outras palavras, logaritmo responde à pergunta: a base deve ser elevada a qual expoente para chegar ao argumento?

Forma logarítmica e exponencial

log b (N)=x \Leftrightarrow b x =N

Por exemplo, $log 2 (8)=3$ , porque $23 =8$ .

Base

b

é o número que será elevado a um expoente.

Argumento

N

, ou logaritmando, é o número que queremos obter.

Logaritmo

x

é o expoente procurado.

!

Atenção: em muitos exercícios, o erro começa quando o aluno confunde base com argumento.

Forma exponencial

2³ = 8

Conhecemos a base e o expoente; encontramos o resultado.

⇔

Forma logarítmica

log₂(8) = 3

Conhecemos a base e o resultado; procuramos o expoente.

Logaritmo	Pergunta equivalente	Valor
$log 28$	2 elevado a quanto dá 8?	3
$log 525$	5 elevado a quanto dá 25?	2
$log 31$	3 elevado a quanto dá 1?	0
$log 2 (1/8)$	2 elevado a quanto dá 1/8?	-3
$log 101000$	10 elevado a quanto dá 1000?	3
$log 42$	4 elevado a quanto dá 2?	1/2

Sentido do logaritmo

Logaritmo não é uma nova operação aleatória. Ele nasce da potenciação. Se você sabe que $34 =81$ , então automaticamente sabe que $log 3 (81)=4$ .

Pergunta correta

Calcule

log 232

.

1

Pergunte: 2 elevado a quanto dá 32?

2

Como

25 =32

, o expoente procurado é 5.

log 2 32=5

.

!

Pegadinha comum: não tente fazer 32 dividido por 2. O logaritmo não pergunta uma divisão; ele pergunta um expoente.

Se o resultado do log é...	Significa que...	Exemplo
positivo	o argumento é maior que 1, quando a base é maior que 1	$log 2 8=3$
zero	o argumento é 1	$log 5 1=0$
negativo	o argumento está entre 0 e 1, quando a base é maior que 1	$log 2 (1/8)=-3$

Observação intermediária: essa leitura vale para bases maiores que 1. Quando a base está entre 0 e 1, o comportamento se inverte:

log 1/2 (2)=-1

e

log 1/2 (1/4)=2

.

Condições de existência

As condições de existência não são detalhe técnico; elas fazem parte do problema. Antes de calcular ou aplicar propriedades, confira se a base é válida e se o argumento é positivo.

Para log_b(N)

Base positiva $b>0$
Base diferente de 1 $b\neq1$
Argumento positivo $N>0$

No estudo usual em números reais, a base do logaritmo precisa ser positiva. Além disso, a base não pode ser 1, porque $1 x =1$ para qualquer expoente, então não conseguiríamos produzir outros valores.

O argumento precisa ser positivo porque a função exponencial de base positiva nunca produz zero nem número negativo. Por exemplo, $2 x$ nunca é 0 e nunca é negativo.

Expressão	Problema
$log 2 (-8)$	argumento negativo
$log 3 (0)$	argumento zero
$log 1 (5)$	base igual a 1
$log -2 (8)$	base negativa

!

Essas expressões não são válidas no estudo real de logaritmos.

Casos imediatos

Alguns logaritmos aparecem com tanta frequência que vale reconhecer de imediato. As identidades abaixo só valem com base válida e argumento positivo.

Identidade	Motivo
$log b 1=0$	qualquer base válida elevada a 0 dá 1
$log b b=1$	para a base virar ela mesma, o expoente é 1
$log b (b k)=k$	o logaritmo desfaz a exponencial
$b log b N =N$	a exponencial desfaz o logaritmo

!

Pegadinha comum: muitos alunos trocam os dois casos principais. O correto é

log b (1)=0

e

log b (b)=1

.

Domínio em expressões

Quando o argumento depende de $x$ , o domínio vem de uma inequação. Em $log b (g(x))$ , precisamos exigir $g(x)>0$ .

Exemplo básico

Determine o domínio de

f(x)=log 2 (x-4)

.

1

O argumento precisa ser positivo:

x-4>0

.

2

Logo,

x>4

.

Domínio:

(4,+\infty)

.

Exemplo básico

Determine o domínio de

f(x)=log 3 (2x+1)

.

1

Condição:

2x+1>0

.

2

2x>-1

, então

x>-1/2

.

Domínio:

(-1/2,+\infty)

.

Exemplo intermediário

Determine o domínio de

f(x)=log 2 (x 2 -5x+6)

.

1

O argumento precisa ser positivo:

x 2 -5x+6>0

.

2

Fatore:

(x-2)(x-3)>0

.

3

Analise os intervalos separados por 2 e 3.

Intervalo	Sinal de x - 2	Sinal de x - 3	Produto
$(-\infty,2)$	-	-	positivo
$(2,3)$	+	-	negativo
$(3,+\infty)$	+	+	positivo

Domínio:

(-\infty,2) \cup (3,+\infty)

.

Os valores $x=2$ e $x=3$ não entram, porque tornam o argumento igual a zero.

!

Pegadinha comum: para

log(g(x))

, a condição é

g(x)>0

, e não

g(x)\geq0

. O argumento não pode ser zero.

!

Não aplique propriedades antes de verificar o domínio. Primeiro garanta que os logaritmos existem.

Comparação com exponencial

Logaritmo e exponencial são funções inversas quando possuem a mesma base. Uma desfaz a outra. Se $y=2 x$ , então $x=log 2 (y)$ .

Exponencial	Logarítmica
$y=b x$	$x=log b y$
Domínio: todos os reais	Domínio: positivos
Imagem: positivos	Imagem: todos os reais
Passa por $(0,1)$	Passa por $(1,0)$
Assíntota horizontal $y=0$	Assíntota vertical $x=0$
Para $b>1$ , é crescente	Para $b>1$ , é crescente
Para $0<b<1$ , é decrescente	Para $0<b<1$ , é decrescente

As funções $y=2 x$ e $y=log 2 (x)$ são inversas e têm gráficos simétricos em relação à reta $y=x$ .

Como aparece em questões

Calcular logaritmos imediatos.
Converter forma logarítmica para exponencial.
Verificar se o logaritmo existe.
Encontrar domínio de funções com log.
Resolver inequações simples vindas do argumento.
Comparar logaritmo com exponencial.
Identificar erros em propriedades e condições de existência.

Erros comuns

Achar que logaritmo é divisão.
Confundir base com argumento.
Esquecer que o argumento precisa ser positivo.
Usar $g(x)\geq0$ em vez de $g(x)>0$ .
Permitir base igual a 1.
Esquecer que a base precisa ser positiva.
Achar que $log b (1)=1$ , quando é 0.
Achar que $log b (b)=0$ , quando é 1.
Aplicar propriedade antes de verificar existência.
Esquecer de excluir valores que tornam o argumento zero.

Resumo para prova

$log b (N)=x$ significa $b x =N$ .
O logaritmo pergunta qual expoente deve ser colocado na base.
$b$ é a base.
$N$ é o argumento.
$x$ é o expoente procurado.
A base precisa ser positiva: $b>0$ .
A base não pode ser 1: $b\neq1$ .
O argumento precisa ser positivo: $N>0$ .
$log b (1)=0$ .
$log b (b)=1$ .
$log b (b k)=k$ .
Para $log b (g(x))$ , faça $g(x)>0$ .
Logaritmo e exponencial são funções inversas quando têm a mesma base.

Checklist antes de avançar

Antes de ir para propriedades, confira se você sabe:

Transformar $log b (N)=x$ em $b x =N$ .
Identificar base, argumento e resultado.
Explicar por que a base não pode ser 1.
Explicar por que o argumento precisa ser positivo.
Calcular logaritmos imediatos.
Encontrar domínio de $log(g(x))$ .
Diferenciar $log b (1)$ de $log b (b)$ .

Exercícios por nível

Básico: calcule

log 2 (16)

,

log 3 (81)

e

log 5 (1)

. Respostas: 4, 4 e 0.

Básico: em

log 7 (49)=2

, identifique base, argumento e resultado. Resposta: base 7, argumento 49 e resultado 2.

Intermediário: determine o domínio de

log(x-2)

,

log(3x+6)

e

log(x 2 -4)

. Respostas:

x>2

,

x>-2

e

x<-2

ou

x>2

.

Avançado: se a base está entre 0 e 1, lembre que o comportamento se inverte. Por exemplo,

log 1/2 (8)=-3

.

Nível básico

Conversão

Escreva

log 2 (32)=5

na forma exponencial.

Cálculo imediato

Calcule

log 4 (64)

.

Existência

Qual expressão não existe nos reais?

Base válida

Qual base não é válida para

log b (7)

?

Nível intermediário

Domínio

Qual é o domínio de

log 3 (2x-7)

?

Domínio

Determine o domínio de

f(x)=log 5 (x+9)

.

Nível avançado

Domínio com fração

Para

log((x-1)/(x+2))

, qual intervalo faz parte do domínio?

Definição e domínio dos logaritmos

Definição

Sentido do logaritmo

Condições de existência

Casos imediatos

Domínio em expressões

Comparação com exponencial

Como aparece em questões

Erros comuns

Resumo para prova

Checklist antes de avançar

Exercícios por nível

Nível básico

Nível intermediário

Nível avançado