Equações e Inequações Logarítmicas

Método geral

1

Imponha o domínio

Todo argumento de logaritmo deve ser positivo. Se a base for variável, ela também precisa ser positiva e diferente de 1.

2

Use propriedades com cuidado

Só junte ou separe logaritmos quando as condições de existência estiverem garantidas.

3

Resolva a equação ou inequação

Depois das transformações, o problema costuma virar uma equação algébrica, exponencial ou uma inequação.

4

Confira as soluções

Substitua ou compare as soluções com o domínio encontrado no início.

!

Atenção: nunca pule o domínio. Uma solução algébrica pode aparecer durante a conta, mas ser inválida para o logaritmo.

Equações logarítmicas

Quando dois logaritmos de mesma base são iguais, seus argumentos são iguais, desde que as condições de existência sejam respeitadas. Isso só vale quando a base é a mesma e válida.

Mesma base

log b A = log b B \Leftrightarrow A = B

Com

A>0

,

B>0

,

b>0

e

b\neq1

.

Exemplo básico

Resolva

log 2 (x-3)=4

.

1

Domínio:

x-3>0

, então

x>3

.

2

Converta para forma exponencial:

x-3=2 4

.

3

x-3=16

, logo

x=19

.

Como

19>3

, a solução é válida.

Mesma base

Resolva

log 3 (x+2)=log 37

.

1

Domínio:

x+2>0

, então

x>-2

.

2

Como as bases são iguais e válidas, iguale os argumentos:

x+2=7

.

x=5

. Como

5>-2

, serve.

!

Pegadinha comum: não iguale argumentos se as bases forem diferentes. Uma igualdade como

log 2 x=log 3 x

exige outra análise.

Exemplo com propriedades

Resolva

log 2 (x+1)+log 2 (x-1)=3

.

1

Domínio:

x+1>0

e

x-1>0

. Logo,

x>1

.

2

Use a propriedade:

log 2 ((x+1)(x-1))=3

.

3

log 2 (x 2 -1)=3

.

4

x 2 -1=2 3

, então

x 2 =9

.

5

x=\pm3

.

Pelo domínio

x>1

, apenas

x=3

serve.

O valor $x=-3$ apareceu na álgebra, mas não pertence ao domínio.

!

Pegadinha comum: ao juntar

log A + log B

em

log(AB)

, não esqueça que

A>0

e

B>0

. O produto

AB

ser positivo não basta.

Substituições

Quando aparecem vários logaritmos relacionados, pode ser melhor trocar uma expressão por uma variável auxiliar. Esse método é comum quando a equação fica parecida com uma equação do 2º grau.

!

Cuidado com a notação:

log 2 x

geralmente significa

(log x) 2

, e não

log(x 2)

.

Exemplo guiado

Resolva

(log 2 x) 2 -3log 2 x+2=0

.

1

Domínio:

x>0

.

2

Faça

y=log 2 x

.

3

A equação vira

y 2 -3y+2=0

.

4

Fatorando:

(y-1)(y-2)=0

.

5

y=1

ou

y=2

.

6

Voltando:

log 2 x=1 \Rightarrow x=2

e

log 2 x=2 \Rightarrow x=4

.

Como ambos são positivos, as soluções são válidas:

x=2

ou

x=4

.

Exemplo intermediário

Resolva

(log 3 x) 2 -log 3 x-6=0

.

1

Domínio:

x>0

. Faça

y=log 3 x

.

2

y 2 -y-6=0

, então

(y-3)(y+2)=0

.

3

y=3

ou

y=-2

.

4

log 3 x=3 \Rightarrow x=27

. E

log 3 x=-2 \Rightarrow x=3 -2 =1/9

.

Soluções:

x=27

ou

x=1/9

.

Inequações logarítmicas

A monotonicidade depende da base. Essa é a principal diferença entre equações e inequações. Em equações, bases iguais permitem igualar argumentos. Em inequações, além disso, precisamos observar se a função logarítmica é crescente ou decrescente.

Base	Comportamento de log_bx	Na comparação	Exemplo
$b>1$	Crescente	Preserva o sentido.	$log 2 x$
$0<b<1$	Decrescente	Inverte o sentido.	$log 1/2 x$

Quando a base é maior que 1, a função cresce. Quando a base está entre 0 e 1, a função decresce.

Base maior que 1

Resolva

log 2 (x-1)<3

.

1

Domínio:

x-1>0

, então

x>1

.

2

Como

2>1

, a função é crescente e preserva o sentido.

3

x-1<2 3

, então

x<9

.

Com o domínio:

1<x<9

.

Base entre 0 e 1

Resolva

log 1/2 (x-1)>log 1/2 3

.

1

Domínio:

x-1>0

, logo

x>1

.

2

A base

1/2

está entre 0 e 1, então a função é decrescente.

3

Inverta a comparação dos argumentos:

x-1<3

.

4

x<4

.

Com o domínio:

1<x<4

.

!

Pegadinha comum: não inverta o sinal só porque apareceu logaritmo. O sinal só inverte quando a base está entre 0 e 1. Mesmo em inequações, o domínio vem antes da comparação.

Problemas com parâmetros

Quando a base ou o argumento depende de parâmetro, a primeira parte da solução costuma ser listar as condições.

Checklist de parâmetros

Base se a base é $a$ , imponha $a>0$ e $a\neq1$ .
Argumentos imponha cada argumento maior que zero.
Monotonicidade se a base varia, separe casos $a>1$ e $0<a<1$ .
Resposta final intersecte tudo e exclua o valor que torna a base igual a 1.

Parâmetro na base

Para quais valores de

a

existe

log a (5)

?

1

A base precisa ser positiva:

a>0

.

2

A base não pode ser 1:

a\neq1

.

a\in(0,1)\cup(1,+\infty)

.

Parâmetro no argumento

Para quais valores de

m

existe

log 2 (m-3)

?

1

O argumento deve ser positivo:

m-3>0

.

m>3

.

Base variável na inequação

Resolva em

x

, considerando

a>1

:

log a (x+2)>log a 5

.

1

Domínio:

x+2>0

, então

x>-2

.

2

Como

a>1

, preserva o sentido:

x+2>5

.

x>3

. Se

0<a<1

, o sentido seria invertido.

Como aparece em questões

Resolver $log b (g(x))=k$ .
Igualar logaritmos de mesma base.
Juntar logaritmos usando propriedades.
Resolver equações com substituição.
Resolver inequações com base maior que 1.
Resolver inequações com base entre 0 e 1.
Analisar domínio antes de aceitar a resposta.
Encontrar valores de parâmetro para o logaritmo existir.

Erros comuns

Resolver a equação e esquecer o domínio.
Aceitar solução que zera argumento.
Juntar logaritmos sem verificar se os argumentos são positivos.
Igualar argumentos com bases diferentes.
Esquecer que base deve ser positiva e diferente de 1.
Esquecer de inverter o sinal quando $0<b<1$ .
Inverter o sinal quando $b>1$ .
Tratar $log 2 x$ como $log(x 2)$ .
Esquecer de voltar da substituição $y=log b x$ para $x$ .
Esquecer de testar soluções após elevar ou transformar expressões.

Resumo para prova

Todo argumento de logaritmo deve ser positivo.
A base deve ser positiva e diferente de 1.
Antes de resolver, faça o domínio.
Depois de resolver, confronte a resposta com o domínio.
Se $log b A=log b B$ , então $A=B$ , desde que a base seja a mesma e as condições existam.
$log A + log B = log(AB)$ , com $A>0$ e $B>0$ .
Substituições como $y=log b x$ podem transformar a equação em quadrática.
Em inequações, a base define o sentido da comparação.
Se $b>1$ , preserva o sentido.
Se $0<b<1$ , inverte o sentido.
Em problemas com parâmetros, liste primeiro as condições de base e argumento.

Checklist de resolução

Todos os argumentos são positivos?
A base é positiva?
A base é diferente de 1?
Posso aplicar a propriedade que estou usando?
A base da inequação é maior que 1 ou está entre 0 e 1?
Resolvi a equação ou inequação algébrica corretamente?
Intersectei com o domínio?
Testei as soluções suspeitas?

Exercícios por nível

Básico: resolva

log 2 (x-3)=4

. Resposta:

x=19

.

Básico: determine o domínio de

log 2 (x 2 -9)

. Resposta:

x<-3

ou

x>3

.

Intermediário: resolva

(log 3 x) 2 -4log 3 x+3=0

. Resposta:

x=3

ou

x=27

.

Avançado: para existir

log a-2 (x)

, considerando

x>0

, precisamos de

a-2>0

e

a-2\neq1

. Resposta:

a>2

e

a\neq3

.

Nível básico

Equação direta

Resolva

log 3 (x+1)=log 37

.

Nível intermediário

Inequação

Resolva

log 3 (x-2)\leq2

.

Substituição

As soluções de

(log 2 x) 2 -3log 2 x+2=0

são:

Nível avançado

Base entre 0 e 1

Resolva

log 1/3 (x+2)\geqlog 1/3 5

.

Equações e inequações logarítmicas

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