Função logarítmica
Função base
f(x)=logbx
b>0, b≠1, domínio x>0 e imagem real.
A função logarítmica é a inversa da função exponencial de mesma base. Por isso, seu domínio é positivo e sua imagem é formada por todos os números reais.
| Característica | Valor | Leitura |
|---|---|---|
| Domínio | (0,+∞) | O logaritmo só aceita argumento positivo. |
| Imagem | R | As saídas podem ser qualquer número real. |
| Assíntota vertical | x=0 | O gráfico se aproxima do eixo y, mas não toca nele. |
| Ponto fixo | (1,0) | Todo logaritmo de 1 é zero. |
| Ponto útil | (b,1) | A base elevada a 1 é a própria base. |
| Outro ponto útil | (1/b,-1) | logb(1/b)=-1. |
Pegadinha comum: a assíntota vertical não é zero da função. A assíntota é uma reta da qual o gráfico se aproxima; o zero é onde o gráfico cruza o eixo x.
Gráfico base
Para desenhar um gráfico logarítmico básico, marque pelo menos três elementos: a assíntota vertical, o ponto (1,0) e o ponto (b,1). Depois observe se a base é maior que 1 ou está entre 0 e 1.
O gráfico passa por (1,0) porque logb1=0. A assíntota vertical fica em x=0, pois o logaritmo não existe para x≤0.
f(x)=log₁₀(x). Como a base 10 é maior que 1, o gráfico é crescente. Ele passa por (1,0) e (10,1).
f(x)=ln(x). O logaritmo natural tem base e. Como e>1, também é crescente. Ele passa por (1,0) e (e,1).
f(x)=log₁/₂(x). Quando 0<b<1, a função logarítmica é decrescente. Pontos úteis: (1,0), (1/2,1) e (2,-1).
Monotonicidade
A monotonicidade depende apenas da base. Essa diferença é essencial em inequações logarítmicas.
| Base | Comportamento | Consequência |
|---|---|---|
| b>1 | Crescente | Se A>B>0, então logbA>logbB. |
| 0<b<1 | Decrescente | Se A>B>0, então logbA<logbB. |
Base maior que 1
Compare log23 e log25.
1
Como 2>1, a função é crescente.
Como 3<5, então log23<log25.
Base entre 0 e 1
Compare log1/23 e log1/25.
1
Como 0<1/2<1, a função é decrescente.
Como 3<5, então log1/23>log1/25.
Pegadinha comum: em base maior que 1, o logaritmo preserva a ordem. Em base entre 0 e 1, ele inverte a ordem.
Transformações
Em f(x)=a·logb(cx+d)+k, o domínio vem de cx+d>0. A assíntota vertical vem de cx+d=0.
O que está dentro do logaritmo controla domínio e assíntota. O que está fora controla reflexão, alongamento e deslocamento vertical.
| Expressão | Efeito principal | Domínio/assíntota |
|---|---|---|
| logb(x-h) | Desloca a assíntota para x=h. | Domínio x>h; assíntota x=h. |
| logbx + k | Desloca o gráfico verticalmente. | Domínio x>0; assíntota x=0. |
| -logbx | Reflete em relação ao eixo x. | Domínio x>0; assíntota x=0. |
| logb(-x) | Reflete em relação ao eixo y. | Domínio x<0; assíntota x=0. |
Transformação horizontal
Analise f(x)=log2(x-3).
1
Domínio: x-3>0, então x>3.
2
Assíntota: x-3=0, então x=3.
3
Zero: log2(x-3)=0, então x-3=1 e x=4.
Quando x-3=2, temos x=5 e f(5)=1.
Transformação vertical
Analise g(x)=log2x+2.
1
Domínio: x>0. Assíntota: x=0.
2
Zero: log2x+2=0, então log2x=-2.
x=2-2=1/4. Interseção com o eixo x: (1/4,0).
Reflexão
Analise h(x)=-log2x.
1
Domínio: x>0. Assíntota: x=0.
O sinal negativo fora do logaritmo reflete o gráfico em relação ao eixo x.
Interseções e sinais
Para encontrar onde a função zera, resolva logb(argumento)=0. Isso equivale a argumento igual a 1 e encontra a interseção com o eixo x.
Zero do logaritmo
logbA = 0 ⇔ A = 1
Isso acontece porque b0=1 para toda base válida.
A função logarítmica básica não intercepta o eixo y, porque x=0 não pertence ao domínio.
| Base | Sinal positivo | Zero | Sinal negativo |
|---|---|---|---|
| b>1 | x>1 | x=1 | 0<x<1 |
| 0<b<1 | 0<x<1 | x=1 | x>1 |
Estudo de sinal
Estude o sinal de f(x)=log2(x-3).
1
Domínio: x>3.
2
Zero: x-3=1, então x=4.
3
Como a base 2 é maior que 1, a função é crescente.
f(x)<0 em 3<x<4; f(x)=0 em x=4; f(x)>0 em x>4.
Pegadinha comum: o gráfico da função logarítmica básica não cruza o eixo y, porque x=0 não pertence ao domínio.
Como aparece em questões
- Identificar domínio e imagem da função logarítmica.
- Encontrar a assíntota vertical.
- Reconhecer se a função é crescente ou decrescente.
- Comparar logaritmos pela monotonicidade.
- Encontrar o zero da função.
- Interpretar deslocamentos como logb(x-h)+k.
- Estudar sinal de funções logarítmicas simples.
Erros comuns
- Esquecer que o domínio exige argumento positivo.
- Escrever domínio x≥0 em vez de x>0.
- Achar que o gráfico cruza o eixo y.
- Confundir assíntota vertical com zero da função.
- Achar que toda função logarítmica é crescente.
- Esquecer que base entre 0 e 1 gera função decrescente.
- Deslocar a assíntota para o lado errado em logb(x-h).
- Achar que logbA=0 significa A=0, quando na verdade A=1.
- Esquecer que transformações dentro do log alteram domínio e assíntota.
Resumo para prova
- A função logarítmica básica é f(x)=logbx.
- A base deve satisfazer b>0 e b≠1.
- O domínio é x>0.
- A imagem é R.
- A assíntota vertical é x=0.
- O gráfico passa por (1,0).
- O gráfico passa por (b,1).
- Se b>1, a função é crescente.
- Se 0<b<1, a função é decrescente.
- Em logb(cx+d), o domínio vem de cx+d>0.
- A assíntota vertical vem de cx+d=0.
- logbA=0 equivale a A=1.
- A função logarítmica básica não cruza o eixo y.
Checklist de leitura gráfica
- Qual é a base?
- A base é maior que 1 ou está entre 0 e 1?
- Qual é o argumento do logaritmo?
- Qual condição torna o argumento positivo?
- Qual é a assíntota vertical?
- Onde a função zera?
- O gráfico foi deslocado, refletido ou esticado?
- A função é crescente ou decrescente?
Exercícios por nível
Básico: o domínio de log2x é x>0; a imagem de log5x é R; a assíntota de log3x é x=0.
Intermediário: para log2(x-4), domínio x>4, assíntota x=4 e zero x=5.
Avançado: para log2(3x-6)+1, domínio x>2, assíntota x=2 e zero dado por 3x-6=2-1.
Nível básico
Assíntota
Qual é a assíntota vertical de f(x)=log2(x-3)?
Domínio
Qual é o domínio de f(x)=log3(x+5)?
Nível intermediário
Zero
Qual é o zero de f(x)=log2(x-1)?
Monotonicidade
A função f(x)=log1/3x é:
Nível avançado
Transformação
Para f(x)=log2(x+1)-3, qual é o zero da função?