Taxas, Descontos e Valor Atual

Taxas equivalentes

Taxas equivalentes são taxas em unidades de tempo diferentes que produzem o mesmo resultado acumulado.

Taxa proporcional usa divisão ou multiplicação linear, comum em juros simples. Taxa equivalente usa fatores multiplicativos, comum em juros compostos.

Equivalência em juros compostos

(1+i 1) n 1 = (1+i 2) n 2

Exemplo resolvido

Uma taxa de 2% ao mês em juros compostos equivale a quanto ao ano?

1

Fator mensal:

1,02

.

2

Fator anual:

1,02 12

.

3

Taxa anual equivalente:

1,02 12 - 1

.

Taxa anual equivalente

\approx 0,2682 = 26,82%

.

!

Atenção: em juros compostos, 2% ao mês não equivale simplesmente a 24% ao ano. Isso seria uma taxa proporcional, não equivalente.

Taxa nominal e efetiva

Taxa nominal é a taxa declarada no enunciado. Taxa efetiva é a taxa que realmente ocorre depois da capitalização.

Exemplo resolvido

Taxa nominal de 24% ao ano com capitalização mensal. Qual é a taxa efetiva anual?

1

Taxa mensal:

24% / 12 = 2%

ao mês.

2

Use o fator mensal:

1,02

.

3

Taxa efetiva anual:

1,02 12 - 1

.

Taxa efetiva anual

\approx 26,82%

.

A taxa nominal informa uma referência anual, mas a capitalização mensal faz o dinheiro crescer mês a mês.

!

Pegadinha: não trate automaticamente uma taxa nominal anual como se fosse taxa efetiva anual.

Como comparar taxas

Duas taxas só podem ser comparadas quando estão na mesma unidade de tempo e no mesmo regime.

Uma taxa de $2%$ ao mês deve ser convertida para taxa anual antes de ser comparada com uma taxa ao ano. Além disso, $24%$ ao ano em juros simples não é a mesma coisa que $24%$ ao ano em juros compostos.

Exemplo guiado

Converter 2% ao mês para taxa anual equivalente em juros compostos.

1

Use o fator mensal

1,02

.

2

Acumule por 12 meses:

1,02 12

.

3

Retire 1 para voltar de fator para taxa:

1,02 12 - 1 \approx 0,2682

.

A taxa anual equivalente é aproximadamente 26,82%.

!

Antes de comparar taxas: pergunte se estão no mesmo período e no mesmo regime.

Descontos

Desconto é uma redução aplicada sobre uma base de cálculo. Em problemas financeiros, é essencial saber se a base é o valor nominal ou o valor atual.

Termos principais

N valor nominal, valor futuro ou valor de face
D desconto
A valor atual, valor pago hoje
i taxa
t tempo

Desconto comercial simples

Desconto $D = N \cdot i \cdot t$
Valor atual $A = N - D$

Exemplo resolvido

Um título de R$ 1.000 é antecipado 2 meses antes do vencimento com desconto comercial simples de 3% ao mês.

1

Transforme a taxa:

3% = 0,03

.

2

Calcule o desconto:

D = 1000 \cdot 0,03 \cdot 2 = 60

.

3

Calcule o valor atual:

A = 1000 - 60 = 940

.

Valor pago hoje: R$ 940.

!

Atenção: no desconto comercial, a taxa incide sobre o valor nominal, não sobre o valor atual.

Desconto racional x comercial

Desconto comercial simples é chamado de desconto por fora, porque a taxa é aplicada sobre o valor nominal. Desconto racional simples é chamado de desconto por dentro, porque o cálculo parte do valor atual.

Tipo	Nome comum	Base	Fórmula principal
Comercial simples	por fora	valor nominal	$D = N \cdot i \cdot t$ ; $A = N - D$
Racional simples	por dentro	valor atual	$A = N/(1+i\cdott)$ ; $D = N - A$
Composto	por fatores	fator acumulado	$A = N/(1+i) t$

Exemplo comparativo

Compare descontos para

N=1000

,

i=10%

e

t=1

.

1

Comercial:

D = 1000 \cdot 0,10 \cdot 1 = 100

, então

A = 900

.

2

Racional:

A = 1000 / 1,10 \approx 909,09

.

3

No racional,

D = 1000 - 909,09 \approx 90,91

.

Comercial e racional podem dar resultados diferentes porque usam bases de cálculo diferentes.

Descontos sucessivos

Descontos sucessivos devem ser multiplicados por fatores. Cada desconto é aplicado sobre o preço que sobrou depois do desconto anterior.

Preço final

preço final = preço inicial \cdot (1-d 1) \cdot (1-d 2) \cdot ...

Exemplo resolvido

Um produto de R$ 500 recebe descontos de 10% e 20%.

1

Os fatores são

0,90

e

0,80

.

2

Fator final:

0,90 \cdot 0,80 = 0,72

.

3

Preço final:

500 \cdot 0,72 = 360

.

O desconto equivalente é 28%, não 30%.

!

Pegadinha: descontos sucessivos não devem ser somados diretamente.

Erros comuns

Atenção em prova

Período comparar taxas em períodos diferentes.
Nominal tratar taxa nominal como efetiva.
Regime usar taxa proporcional quando o regime é composto.
Valores confundir valor nominal com valor atual.
Sucessivos somar descontos sucessivos diretamente.
Desconto confundir desconto comercial com desconto racional.

Exercício rápido

Cheque rápido

Um produto sofre descontos sucessivos de 10% e 20%. Qual é o fator final?

Taxas, descontos e valor atual

Taxas equivalentes

Taxa nominal e efetiva

Como comparar taxas

Descontos

Desconto racional x comercial

Descontos sucessivos

Erros comuns

Exercício rápido