Sequências numéricas

1. Uma sequência registra ordem e repetição. As duas listas têm quatro termos, mas as primeiras e segundas posições não coincidem.

1. $a_{n+1}=a_3=6$. Já $a_n+1=a_2+1=2+1=3$. Somar ao índice e somar ao valor são operações diferentes.

1. A quantidade de posições é quatro. O primeiro índice é zero, mas seu valor foi declarado como doze; índice e valor têm papéis diferentes.

1. Qualquer inteiro positivo tem um sucessor. A lista pode repetir valores e permanecer limitada, sem deixar de ter infinitas posições.

1. Substituímos o índice em n: $a_{10}=3\cdot10+2=32$. O resultado é um termo, não a soma dos dez primeiros.

1. Resolver 3n+2 = 48 dá n = 46/3. Esse número não pertence ao domínio dos índices. Na posição 16, o valor seria cinquenta.

1. Precisamos de 7−n ≥ 0. Os índices permitidos são 1 a 7; o termo de índice sete vale zero e está definido.

1. O denominador fica zero em n = 2. A regra pode ser usada com outro domínio declarado ou com definição separada nesse índice, mas não fornece sozinha todos os termos positivos.

1. A regra 2n+1 produz nove na quarta posição. Outra pode copiar as três primeiras e usar 2n+7 a partir da quarta, produzindo quinze. O começo não escolhe uma única regra.

1. Duplicar e inverter as fileiras forma dez linhas com onze pontos: 110 pontos nas duas cópias. Uma figura tem 110/2 = 55.

1. O expoente n+1 começa em dois, dando sinal positivo. As magnitudes n+2 são 3, 4, 5 e 6, e os sinais alternam.

1. O índice vinte é par e corresponde a 2k = 20, logo k = 10. Usando o caso par, o valor é 10+3 = 13.

1. Partindo de $a_1=4$, calculamos $a_2=2\cdot4+1=9$, $a_3=2\cdot9+1=19$ e $a_4=2\cdot19+1=39$. A regra usa o valor anterior, não o número do índice no lugar desse termo.

1. Começar em um gera (1,3,5,…); começar em dois gera (2,4,6,…). A recorrência não escolhe sozinha o primeiro valor.

1. Calculando em ordem: a₃ = 5+2 = 7, a₄ = 7+5 = 12, a₅ = 12+7 = 19 e a₆ = 19+12 = 31. Os dois valores anteriores alimentam cada nova etapa.

1. A base fornece o primeiro caso. O passo válido para um índice arbitrário encadeia os seguintes. Testar uma quantidade finita de casos não substitui essa demonstração.

1. Ela nunca diminui, porém há igualdade entre os termos de índices dois e três. Isso permite a classificação fraca e impede a estrita.

1. O denominador positivo aumenta e o numerador permanece um. O próximo termo é sempre menor, embora os valores continuem positivos.

1. Os termos −2, −4, −8, … ficam menores. A diferença é $-2^n<0$. O quociente existe, pois os termos não são zero, mas as conclusões de ordem dependem do sinal deles.

1. A escrita aₙ = 1−1/(n+1) mostra que os valores vão de 1/2 até abaixo de um. Crescer não significa ultrapassar qualquer limite.

1. 2026−1 = 2025 = 675 · 3 + 0. Resto zero coloca o termo na posição 0+1 do ciclo, cujo valor é dois.

1. Se houvesse período p > 0, os valores de índices n e n+p teriam a mesma magnitude. Mas suas magnitudes seriam n e n+p, que são diferentes. Repetir os sinais não basta.

1. Selecionamos o índice 2k e o substituímos na regra: $a_{2k}=(2k)^2=4k^2$. Os primeiros valores são 4, 16, 36, … .

1. Como $6!=6\cdot5\cdot4!$, cancelamos o produto comum 4! e obtemos trinta. Não se cancela o símbolo ! para formar 6/4.

1. As parcelas são 2, 5, 10 e 17, totalizando 34. Dezessete é apenas o quarto termo.

1. $S_0=0$ e $S_{n-1}=(n-1)n$. Subtraímos as somas: $a_n=S_n-S_{n-1}=n(n+1)-(n-1)n=n[(n+1)-(n-1)]$. Dentro dos colchetes, $n+1-n+1=2$, logo $a_n=2n$, inclusive para n = 1.

$a_n=n^2$ para todo n ≥ 1; $a_6=36$. A base e o passo justificam todos os índices.

1. Base: $a_1=1=1^2$.
2. Para um k ≥ 1 arbitrário, suponha $a_k=k^2$. Pela recorrência, $a_{k+1}=k^2+2k+1$. Essa expressão é igual a $(k+1)^2$.
3. A base inicia o encadeamento e o passo vale em qualquer índice positivo, provando a fórmula em todas as posições.
4. Logo $a_6=6^2=36$. Conferir seis termos só verifica um trecho finito; sem a regra e sua demonstração, poderia haver outra continuação.

Primeiros termos (2, −1, 4, −2, 6, −3); b₁₅ = 16 e b₁₆ = −8; soma dos oito primeiros = 10; não é periódica.

1. Para k = 1, 2 e 3, os pares de posições recebem (2,−1), (4,−2) e (6,−3).
2. $15=2\cdot8-1$ corresponde a k = 8 no caso ímpar, então $b_{15}=16$. No caso par, $16=2\cdot8$ e $b_{16}=-8$.
3. Os oito primeiros termos formam quatro pares. As somas são 1, 2, 3 e 4, totalizando dez.
4. Não há periodicidade: uma sequência periódica só repete os valores de um bloco finito, logo é limitada. Aqui os valores positivos de índices ímpares são 2k e não têm limite superior.

Uma possibilidade é Aₙ = 3n+1 para n ≥ 1. Outra copia os três primeiros valores e usa Bₙ = 3n+7 para n ≥ 4. Seus quartos termos são treze e dezenove.

1. A primeira regra, 3n+1, dá 4, 7 e 10 nas posições 1, 2 e 3, e treze na quarta.
2. A segunda define explicitamente B₁ = 4, B₂ = 7, B₃ = 10 e Bₙ = 3n+7 para todo n ≥ 4. Seu quarto termo é dezenove.
3. Ambas estão definidas em todos os índices positivos e coincidem no começo declarado. Como os quartos termos diferem, os três dados iniciais não obrigam uma única continuação. Outras construções corretas também são possíveis.

E₀ = 12 e Eₙ₊₁ = Eₙ+3 para n ≥ 0 no período; E₄ = 24. Foram recebidas dezesseis unidades. A soma dos estoques diários, 78, não é o total recebido.

1. A entrada líquida diária é 4−1 = 3. Partimos de E₀ = 12 e usamos Eₙ₊₁ = Eₙ+3 para n = 0,1,2,3.
2. Os estoques ao fim dos dias são 15, 18, 21 e 24. Após quatro dias, há 24 unidades.
3. Foram recebidas 4 · 4 = 16 unidades e retiradas quatro. O balanço confere: 12+16−4 = 24.
4. Somar 15+18+21+24 = 78 agrega registros sucessivos de estoque, contando novamente unidades mantidas de um dia para o outro. Isso não mede o fluxo total de entradas.