Progressão geométrica — PG

1. A definição é multiplicativa e não exige positividade. A diferença fixa caracteriza PA, enquanto na PG o fator fixo determina as passagens.

1. Dividimos próximo pelo atual: $(-6)/12=-1/2$. As outras passagens também multiplicam por −1/2. Todos os denominadores são não nulos.

1. Nenhum fator real transforma zero em quatro. Depois de um termo zero, a recorrência exige que os seguintes continuem nulos. As outras listas admitem fator fixo.

1. Há cinco passagens: $a_6=4\cdot3^5$. Como $3^5=243$, o resultado é $4\cdot243=972$.

1. A origem é zero. Após quatro etapas, $b_4=6\cdot2^4=96$.

1. Voltamos duas passagens, dividindo por $3^2=9$. Assim, $a_2=54/9=6$.

1. São duas passagens: $q^2=40/10=4$. As duas raízes reais são dois e −2. Os primeiros termos correspondentes são cinco e −5, respectivamente; ambos dão os termos informados.

1. Os termos são −5, −2,5, −1,25, … Cada novo valor é maior. A razão positiva preserva o sinal; ela não causa alternância.

1. $a_5=3(-2)^4=3\cdot16=48$. O expoente é quatro, par, então a potência é positiva.

1. A equação é $2^{n-1}=224/7=32=2^5$. Logo n−1 = 5 e n = 6, um índice permitido.

1. O quadrado do termo central é $9\cdot81=729$. Portanto o centro pode ser 27 ou −27, gerando razões três e −3. Exigir todos os termos positivos eliminaria a opção negativa.

1. Os pares de índices somam nove: $2+7=3+6$. Seus produtos de valores são iguais.

1. Na forma $(c/q,c,cq)$, o produto é $c^3$. Assim, $c^3=125$ e c = 5.

1. Há quatro passagens, então $q^4=243/3=81$. A razão positiva é três; a lista completa é (3,9,27,81,243). A razão −3 daria meios alternados e não atenderia à positividade.

1. O salto de posições é dois. A nova razão é $(-3)^2=9$. A seleção começa (2,18,162,…).

1. Os termos são (2,−4,8,−16). O produto é positivo porque há dois fatores negativos. Pela fórmula, $P_4=2^4(-2)^6$. Assim, $P_4=16\cdot64=1024$.

1. A fórmula dá $S_5=3(2^5-1)/(2-1)$. Portanto $S_5=3\cdot31=93$. O último termo, 48, é apenas uma parcela.

1. A razão é um e somamos nove parcelas iguais a −4. A soma é −36; o que não se aplica é a fórmula que divide por q−1.

1. O primeiro termo do trecho é $a_3=12$ e há quatro parcelas. A soma é $12(2^4-1)/(2-1)=180$. Conferindo: 12+24+48+96 = 180.

1. As parcelas são 1, 4, 12 e 32, cuja soma é 49. Os pesos crescem em PA, por isso essa lista não é uma PG; a técnica de subtração adaptada também dá o mesmo total.

1. A soma é $S_n=2^n-1$. Portanto $2^n=128=2^7$ e n = 7.

1. Conservamos 100%−12% = 88% do valor anterior. Em forma decimal, o fator é 0,88.

1. O módulo da razão é menor que um. Logo $S=9/(1-1/4)=9/(3/4)=12$.

1. A condição é |q| < 1, não apenas q < 1. Com razão −3 e primeiro termo não nulo, os módulos crescem e as parcelas não tendem a zero, impedindo convergência ordinária.

1. O bloco tem dois algarismos. A soma é $(18/100)/(1-1/100)=(18/100)/(99/100)=(18/100)\cdot(100/99)=18/99$. Dividindo numerador e denominador por nove, obtemos $2/11$. A fração 18/100 representa o decimal finito 0,18; a repetição exige somar todas as cópias do bloco.

1. O fator linear é dois. O volume usa o cubo desse fator: $2^3=8$. A área usaria quatro, mas o problema pede volume.

Para q ≠ 1, $S_n=a_1(q^n-1)/(q-1)$. Para q = 1, $S_n=na_1$; para q = 0 e n ≥ 1, $S_n=a_1$.

1. Escreva $S_n=a_1+\cdots+a_n$. Multiplicando por q, as parcelas passam a $qa_1,\ldots,qa_n$. Pela recorrência, as primeiras n−1 delas coincidem com $a_2,\ldots,a_n$.
2. Subtraindo, $(q-1)S_n=qa_n-a_1$. Pela recorrência repetida, $qa_n=a_1q^n$ para n ≥ 1, inclusive se q = 0. Se q ≠ 1, podemos dividir e obter a fórmula.
3. Se q = 1, os termos são iguais ao primeiro e a soma é n vezes esse valor. Não dividimos por zero.
4. Se q = 0, só o primeiro valor pode ser não nulo. A soma é a₁ para qualquer n ≥ 1. A fórmula finita também dá esse resultado porque 0ⁿ = 0 com n positivo; não usa 0⁰.

Razão −3; primeiro termo quatro; soma dos cinco primeiros 244. A seleção é (4,36,324), de razão nove e soma 364.

1. Há três passagens: $q^3=324/(-12)=-27$, logo q = −3. Assim, $a_1=(-12)/(-3)=4$.
2. Os cinco termos são (4,−12,36,−108,324). Pela fórmula, $S_5=4[(-3)^5-1]/(-3-1)$. Como $(-3)^5=-243$, temos $S_5=4(-244)/(-4)=4\cdot61=244$. A soma direta confirma: $4-12+36-108+324=-8+36-108+324=28-108+324=244$.
3. A seleção avança duas posições por vez; o fator é $q^2=9$. Os valores são (4,36,324), com soma $4+36+324=40+324=364$. A fórmula da nova PG dá $4(9^3-1)/(9-1)=4(729-1)/8=4\cdot728/8=4\cdot91=364$.
4. Os dois totais diferem porque a seleção retirou as duas parcelas negativas. O índice k da nova lista, se usado, conta somente as posições selecionadas, não todas as posições originais.

Soma quatro; diferença S−S₃ = −1/2; menor quantidade: seis parcelas.

1. O módulo da razão é meio, menor que um. As potências desse módulo tendem a zero, e a fórmula da soma dá $S=6/[1-(-1/2)]=4$.
2. As três primeiras parcelas são seis, −3 e 3/2. Logo $S_3=9/2$ e $S-S_3=4-9/2=-1/2$. A diferença negativa mostra que a soma parcial ficou acima do limite.
3. O erro em módulo é $|R_n|=6(1/2)^n/[1-(-1/2)]=6(1/2)^n/(3/2)=4/2^n$. Exigimos $4/2^n<0{,}1$. Multiplicar por $2^n>0$ dá $4<0{,}1\cdot2^n$; dividir por $0{,}1>0$ dá $2^n>40$. As duas operações preservam o sentido da desigualdade. Como $2^5=32$ e $2^6=64$, o menor n é seis.
4. Cinco parcelas dão erro 0,125; seis dão 0,0625. A alternância muda o sinal do resto, mas não essa comparação de módulos.

Lista nula: qualquer fator e soma zero. Estacionária: razão zero e soma quatro. Alternante: razão −1 e sem soma ordinária. Constante não nula: razão um e sem soma ordinária.

1. A lista nula é preservada por qualquer fator real; todas as somas parciais são zero. Não se tenta obter um fator por 0/0.
2. Em (4,0,0,…), a primeira passagem obriga fator zero. As somas parciais valem quatro desde a primeira, portanto convergem para quatro.
3. Em (2,−2,2,−2,…), a razão é −1; as somas parciais alternam entre dois e zero. A fração 2/[1−(−1)] = 1 existe, mas não é limite dessas somas.
4. Em (2,2,2,…), a razão é um e Sₙ = 2n cresce sem limite. A lista não nula exige |q| < 1 para a fórmula de convergência; a lista toda nula é uma exceção tratada diretamente.