Progressão aritmética — PA

1. A definição exige uma mesma diferença em todas as passagens existentes. Os termos podem ter qualquer sinal e uma regra para o começo não controla o restante.

1. Fazemos próximo menos atual: 6−10 = −4. As outras diferenças são 2−6 = −4 e −2−2 = −4.

1. A razão positiva faz cada termo superar o anterior. O sinal do primeiro termo não decide o sentido da variação.

1. A razão é zero e todos os valores são −6. Não usamos uma fórmula que divide pela razão para localizar o valor.

1. Entre as posições um e quatorze há treze passagens. Assim, $a_{14}=7+13\cdot3=46$.

1. A origem é o índice zero. São seis passagens: $b_6=18+6\cdot4=42$.

1. Avançamos $9-5=4$ posições. Logo $a_9=20+4(-2)=12$.

1. A razão é $(35-11)/(9-3)=24/6=4$. Voltando duas posições a partir de $a_3$, temos $a_1=11-2\cdot4=3$.

1. Resolvemos $4+6(n-1)=100$. Isso dá $n-1=16$ e $n=17$, inteiro positivo permitido.

1. $4+6(n-1)=100$ fornece $n=17$. A lista só permite $1\le n\le12$. O cálculo da expressão fora desse domínio não acrescenta termos à lista.

1. O dobro do termo central é $2(2x+1)$ e a soma dos extremos é $(x-2)+(4x-1)$. Igualando e simplificando, $4x+2=5x-3$. Subtrair $4x$ dos dois lados dá $2=x-3$; somar três dá $x=5$.
2. A lista obtida é (3, 11, 19), de razão oito.

1. Os índices de ambos os pares somam dezessete: $3+14=7+10$. Na mesma PA, as somas dos valores são iguais.

1. Escreva $(c-r,c,c+r)$. A soma dá $c=9$. O produto dá $9(81-r^2)=648$, logo $81-r^2=72$ e $r^2=9$.
2. A condição crescente exige razão positiva: r = 3. Os termos são (6, 9, 12).

1. O centro é $c=35/5=7$. A diferença dos extremos é $4r=24$, logo $r=6$. O primeiro é $c-2r=7-12=-5$.
2. A lista é (−5, 1, 7, 13, 19).

1. A diferença do segundo para o primeiro é $(c-t)-(c-3t)=2t$. Com $t=3$, a razão é seis, não três.

1. Há seis termos e cinco passagens. A razão é (26−1)/5 = 5. A lista completa é (1, 6, 11, 16, 21, 26); retirando os extremos ficam os quatro meios.

1. A primeira posição escolhida contém $a_3=4+2\cdot2=8$. Cada salto contém quatro passagens da PA original, então a nova razão é $4\cdot2=8$.

1. O fator multiplicando o termo é −3; o número dois apenas desloca todos os valores. A nova razão é (−3)·5 = −15.

1. A diferença consecutiva da soma é a soma das diferenças: 2+(−7) = −5.

1. O nono termo é $6+8\cdot4=38$. Logo $S_9=9(6+38)/2=198$.

1. A média de uma PA finita é a média dos extremos: (−5+25)/2 = 10. A quantidade de termos não precisa ser conhecida para esse cálculo.

1. Os extremos do trecho são $a_6=11$ e $a_{15}=29$. Existem $15-6+1=10$ parcelas. O total é $10(11+29)/2=200$.

1. O último ímpar é $2n-1=49$, então $n=25$. A soma dos primeiros 25 ímpares é $25^2=625$.

1. O primeiro é 36 e o último é 117. Há (117−36)/9+1 = 10 termos. A soma é 10(36+117)/2 = 765.

1. A soma é $n[6+4(n-1)]/2=n(2n+1)$. Igualar a 78 dá $2n^2+n-78=0$, ou $(n-6)(2n+13)=0$.
2. A solução seis é inteira positiva; a outra é −13/2 e não serve. Conferindo, a₆ = 23 e 6(3+23)/2 = 78.

1. A fórmula vale em zero e dá $S_0=0$. Para $n\ge1$, $a_n=S_n-S_{n-1}=(3n^2-n)-[3(n-1)^2-(n-1)]$. Expandindo o colchete, $3(n-1)^2-(n-1)=3n^2-7n+4$. Assim, $a_n=3n^2-n-3n^2+7n-4=6n-4$. Logo $a_1=6-4=2$ e $a_{n+1}-a_n=[6(n+1)-4]-(6n-4)=6$.

$S_n=n(a_1+a_n)/2$, para n inteiro positivo; com r = 0, $S_n=na_1$.

1. Escreva $S_n=a_1+\cdots+a_n$ e a mesma soma com ordem invertida. Na posição k, as parcelas das duas escritas são $a_k$ e $a_{n+1-k}$.
2. Pelo termo geral, $a_k=a_1+(k-1)r$ e $a_{n+1-k}=a_1+(n-k)r$. A soma é $2a_1+(n-1)r=a_1+a_n$. Há n pares assim ao somar as duas escritas.
3. Portanto $2S_n=n(a_1+a_n)$; dividindo por dois, obtemos a fórmula. Se n é ímpar, a coluna central contém duas vezes o termo central, sem perder parcela.
4. Se r = 0, $a_n=a_1$ e a fórmula dá $S_n=n(2a_1)/2=na_1$, como na adição de n parcelas iguais. Convenciona-se ainda $S_0=0$.

Razão quatro; primeiro termo onze; soma 290; meios 31 e 39, com nova razão oito.

1. Entre as posições quatro e dez há seis passagens e variação 24: $r=(47-23)/(10-4)=4$. Voltando três passagens, $a_1=23-3\cdot4=11$.
2. A soma é $S_{10}=10(11+47)/2=290$.
3. Inserir dois meios cria quatro termos e três passagens. A nova razão é (47−23)/3 = 8. A lista interpolada é (23, 31, 39, 47).
4. A nova razão é o dobro da original, pois seleciona uma posição a cada duas passagens da PA original; os meios são a₆ e a₈. Não se confunde quantidade de meios com quantidade de passagens.

Uma ou sete parcelas dão soma sete. O máximo é dezesseis, ao somar quatro parcelas.

1. A soma é $S_n=n[14-2(n-1)]/2$, ou $S_n=n(8-n)$. A equação $S_n=7$ dá $n^2-8n+7=0$, cuja fatoração é $(n-1)(n-7)=0$.
2. As soluções um e sete são índices inteiros positivos. A soma das sete primeiras parcelas é 7+5+3+1−1−3−5 = 7.
3. O termo geral é $a_n=9-2n$. A condição $a_n>0$ equivale a $n<9/2$, então somente os quatro primeiros termos são positivos. Depois disso todos são negativos.
4. Como $S_n-S_{n-1}=a_n$, as somas crescem até $n=4$ e depois diminuem. O máximo é $S_4=4(8-4)=16$.

$a_n=2n+3$, razão dois. A subsequência é $b_k=a_{2k}=4k+3$, de razão quatro; seus cinco primeiros termos somam 75.

1. A fórmula dá $S_0=0$. Subtraindo $S_{n-1}$ de $S_n$, obtemos $a_n=[n^2+4n]-[(n-1)^2+4(n-1)]=n^2-(n-1)^2+4$. Como $(n-1)^2=n^2-2n+1$, fica $a_n=n^2-n^2+2n-1+4=2n+3$, para $n\ge1$. A diferença $a_{n+1}-a_n=[2(n+1)+3]-(2n+3)=2$ é constante; é PA de razão dois e primeiro termo cinco.
2. Na nova lista, $k=1$ escolhe o índice original dois; $k=2$ escolhe o quatro, e assim por diante. Por isso $b_k=a_{2k}=4k+3$. k é o índice da subsequência, inteiro positivo.
3. O primeiro termo é $b_1=7$ e o quinto é $b_5=23$. A soma é $5(7+23)/2=75$. Conferindo diretamente, a lista é (7, 11, 15, 19, 23).