Matrizes: conceitos e operações

1. A tem três linhas e duas colunas. A escrita informa primeiro linhas e depois colunas; as seis entradas não determinam sozinhas o formato.

1. O primeiro índice escolhe a segunda linha; o segundo escolhe a terceira coluna. A entrada nessa posição é quatro.

1. A posição a₃₂ exige terceira linha. A matriz tem somente duas. Não se atribui zero a uma posição ausente.

1. Substituímos i = 2 e j = 3: $a_{23}=2+2\cdot3=8$. Os índices são válidos no tamanho informado.

1. A identidade de ordem três possui um em cada uma das três posições da diagonal principal e zero nas outras seis.

1. A condição é i+j = n+1 = 4. As posições (1,3), (2,2) e (3,1) satisfazem essa soma.

1. Igualdade exige as mesmas dimensões e entradas correspondentes iguais. Os zeros não eliminam a condição de tamanho. Nulas do mesmo tamanho são iguais.

1. Todas as entradas abaixo da diagonal principal são zero, mas há entradas não nulas acima. O zero na última posição da diagonal é permitido.

1. Na primeira posição, x+1 = 6, então x = 5. Na última, y = −4. As outras duas posições já coincidem.

1. Ainda que x = 2 e y = 3 igualem suas posições, a entrada (1,2) permanece diferente. Todas as condições precisam valer simultaneamente.

1. A primeira linha vira a primeira coluna e a segunda vira a segunda. A forma passa de 2×3 para 3×2, sem troca de sinais.

1. As entradas (1,2) e (2,1) devem ser iguais. Logo x = 4. A diagonal não precisa ser zero.

1. As entradas espelhadas devem ser opostas. Como a₂₁ = −5, é preciso a₁₂ = 5. A diagonal já é nula.

1. Somamos as entradas correspondentes: 1+4 = 5, −2+1 = −1, 3−1 = 2 e 0+2 = 2.

1. O fator −3 multiplica todas as entradas: −3, seis, zero e −12. Não se multiplica somente a diagonal nem se soma o fator às entradas.

1. Subtrair I₂ retira um de cada entrada da diagonal, mantendo as outras. O resultado é a matriz de linhas (4,−2) e (6,2). Multiplicar por meio dá X com linhas (2,−1) e (3,1).

1. No produto AB, as dimensões internas dois coincidem e as externas dão 3×4. Para BA, seriam comparadas quatro colunas de B com três linhas de A, que não coincidem.

1. A soma exige dimensões iguais, que existem. O produto AB exigiria três colunas de A iguais a duas linhas de B; ele não existe.

1. Calculamos $1\cdot4+(-2)5+3(-1)$. As parcelas são quatro, −10 e −3, total −9.

1. Usamos a primeira linha de A, (2,1), e a segunda coluna de B, (3,2). A entrada é 2·3+1·2 = 8.

1. O produto AB tem linhas (2,1) e (0,1); BA tem linhas (2,2) e (0,1). Ambos existem e têm o mesmo tamanho, mas diferem numa entrada.

1. À esquerda, a identidade precisa ter ordem três; à direita, ordem dois. Assim, I₃A e AI₂ existem e preservam A.

1. A matriz diagonal de entradas principais (1,0), multiplicada pela matriz diagonal de entradas principais (0,5), dá a matriz nula, com ambos os fatores não nulos. Compatibilidade depende de dimensões, e cancelamento não decorre somente de um fator ser não nulo.

1. O quadrado tem primeira linha (1,4) e segunda (0,1). Multiplicar mais uma vez por A dá, na posição (1,2), 1·2+4·1 = 6. Não se eleva a entrada dois ao cubo isoladamente.

1. Ao transpor o produto, os fatores transpostos aparecem na ordem inversa. As dimensões e a regra dos índices confirmam BᵀAᵀ.

1. A entrada (1,2) da transposta é dois. A média nessa posição é (6+2)/2 = 4. A entrada espelhada de S também será quatro.

$A=\begin{pmatrix}-1&-3&-5\\0&-2&-4\end{pmatrix}$ e $A^T=\begin{pmatrix}-1&0\\-3&-2\\-5&-4\end{pmatrix}$. A soma não existe, pois os tamanhos são diferentes.

1. Na primeira linha, i = 1 e j percorre 1, 2 e 3: obtemos −1, −3 e −5. Na segunda, i = 2, obtendo zero, −2 e −4.
2. A primeira linha de A vira a primeira coluna da transposta; a segunda vira a segunda coluna. Assim, a transposta é 3×2.
3. A é 2×3 e Aᵀ é 3×2. A soma matricial exige dimensões iguais, portanto não está definida. Igual quantidade de entradas não basta.

$AB=\begin{pmatrix}-2&6\\6&-2\end{pmatrix}$. BA existe e é 3×3, portanto não é igual a AB.

1. A é 2×3 e B é 3×2; o produto AB é 2×2. Na posição (1,1): 2·1+0·(−1)+(−1)·4 = −2. Na posição (1,2): 2·2+0·0+(−1)·(−2) = 6.
2. Na posição (2,1): 1·1+3·(−1)+2·4 = 6. Na posição (2,2): 1·2+3·0+2·(−2) = −2.
3. BA usa B de tamanho 3×2 e A de tamanho 2×3; suas dimensões internas coincidem e o resultado é 3×3. Como AB é 2×2, não são matrizes iguais.

AB=O, BA=A. Temos AO=AA=O, com O≠A. Além disso, (A+B)²=A+B, enquanto A²+2AB+B²=B.

1. Todos os produtos linha-coluna em AB dão zero. Já BA mantém a primeira linha de A e a segunda linha é nula, logo BA=A. Ambos os fatores são não nulos.
2. A²=O, pois a primeira linha de A encontra somente zeros nos lugares necessários. Também AO=O. Assim, AO=AA, mas O≠A; cancelar A seria inválido.
3. B²=B. A soma A+B tem primeira linha (1,1) e segunda (0,0); seu quadrado é a própria soma. Portanto (A+B)²=A+B.
4. A²+2AB+B² = O+O+B = B. O termo que falta é BA=A. A expansão completa A²+AB+BA+B² dá A+B corretamente.

$QM=\begin{pmatrix}14&4&9\\8&8&13\end{pmatrix}$. Custos por equipe: 75 e 95 reais. Custos por kit: 21 e onze reais.

1. A primeira equipe usa 2·1+3·4 = 14 itens X, 2·2+3·0 = 4 itens Y e 2·3+3·1 = 9 itens Z. A segunda usa 4·1+1·4 = 8 itens X, 4·2+1·0 = 8 itens Y e 4·3+1·1 = 13 itens Z.
2. O custo da primeira é 14·2+4·5+9·3 = 75 reais. O da segunda é 8·2+8·5+13·3 = 95 reais.
3. O kit um custa 1·2+2·5+3·3 = 21 reais. O kit dois custa 4·2+0·5+1·3 = 11 reais. As equipes gastam 2·21+3·11 = 75 e 4·21+1·11 = 95 reais.
4. Se p é a coluna dos preços, os dois percursos são (QM)p e Q(Mp). A associatividade permite reagrupar, mantendo a ordem dos fatores, as categorias e as unidades.