Matriz inversa e equações matriciais

1. A inversa multiplicativa produz a identidade nos dois sentidos. Soma nula define a oposta; recíprocos entrada a entrada não são a definição.

1. O determinante é 1·4−2·2=0. As linhas são proporcionais e a transformação perde informação. Ser quadrada é necessário, mas não suficiente.

1. A única entrada é não nula. Seu recíproco é −1/5, e o produto com −5 vale um.

1. O zero na diagonal apaga uma coordenada, e o determinante é zero. Zeros fora da diagonal são normais e não impedem a inversa quando toda a diagonal é não nula.

1. O determinante é 2−1=1. Troque os dois valores diagonais e mude os sinais das outras entradas, obtendo linhas (1,−1),(−1,2).

1. Para quadradas de mesma ordem, Binet dá determinantes não nulos. A tem inversa, e multiplicar AB=I à esquerda por A⁻¹ dá B=A⁻¹. O resultado não é uma regra para fatores retangulares.

1. O determinante é não nulo. Binet aplicado a AA⁻¹=I exige (−4)det(A⁻¹)=1, portanto o resultado é −1/4.

1. Os dois blocos precisam registrar a mesma sequência de operações. Se a esquerda vira I, a direita será a inversa; operar só uma parte perde essa relação.

1. A segunda linha da identidade, (0,1), recebe menos três vezes a primeira, (1,0), dando (−3,1). A segunda linha do bloco esquerdo fica (0,1).

1. O primeiro índice escolhe a segunda linha (−2,2,−1), e o segundo escolhe a terceira entrada: −1. As linhas e colunas não são trocadas novamente ao ler a inversa.

1. A adjunta clássica é Cᵀ. Transpor troca os índices, levando a posição (3,1) para (1,3).

1. A adjunta é a transposta de C, então sua entrada (1,2) é −1. Dividir a adjunta pelo determinante dois dá −1/2 nessa posição.

1. Para desfazer o produto, inverta cada fator e reverta toda a ordem. Os fatores vizinhos cancelam por associatividade.

1. Aᵀ=A e (Aᵀ)⁻¹=(A⁻¹)ᵀ implicam A⁻¹=(A⁻¹)ᵀ. Isso não exige igualdade entre A e sua inversa ou sinal positivo das entradas.

1. O fator numérico três é desfeito por um terço, multiplicando a inversa inteira. O produto (3A)(A⁻¹/3) é I.

1. A⁻¹ tem linhas (1,−3),(0,1). Multiplicar essa matriz por ela mesma produz −3−3=−6 na entrada (1,2).

1. A condição QᵀQ=I define a ortogonalidade. Determinante ±1 é uma consequência, mas sozinho não garante a condição.

1. A dominância diagonal estrita em cada linha é suficiente. A versão fraca pode falhar: a matriz 2×2 com todos os elementos um satisfaz igualdade nas somas e é singular.

1. X=A⁻¹B tem dimensões (3×3)(3×2), cujo resultado é 3×2. A incógnita pode ser retangular.

1. Multiplique os dois membros à direita por A⁻¹ para obter X(AA⁻¹)=BA⁻¹. Não há razão para B ter inversa.

1. A inversa tem linhas (1,−1),(−1,2). A coluna solução é (5−3,−5+6)=(2,1). Conferindo: 2·2+1=5 e 2+1=3.

1. Multiplique à esquerda por A⁻¹ e à direita por B⁻¹. A sequência tem dimensões (2×2)(2×3)(3×3), resultando em 2×3. As outras ordens nem são compatíveis nesses tamanhos.

1. Dobrar a primeira igualdade exige 2x+4y=6, incompatível com sete. O determinante zero não decide sozinho: aqui os termos independentes revelam a contradição.

1. O determinante é t²−1=(t−1)(t+1). As entradas existem para todo real, mas a inversa exige excluir as duas raízes do determinante.

1. A+B=2I₂ é inversível, e o fator dois é desfeito por meio. A soma das inversas seria 2I₂, mostrando que essa não é uma regra válida para a inversa da soma.

1. Multiplicar à esquerda por A⁻¹ prova X=Y. Uma matriz singular não nula pode enviar colunas diferentes à mesma saída, impedindo o cancelamento geral.

$M^{-1}=\frac12\begin{pmatrix}1&-1&1\\1&1&-1\\-1&1&1\end{pmatrix}$.

1. Comece com [M|I₃]. Faça R₃←R₃−R₁: à esquerda, a terceira linha vira (0,−1,1); à direita, vira (−1,0,1). As duas primeiras linhas permanecem.
2. Faça R₃←R₃+R₂: a terceira linha esquerda vira (0,0,2), e a direita vira (−1,1,1). Divida a linha inteira por dois: a esquerda fica (0,0,1), e a direita (−1/2,1/2,1/2).
3. Faça R₂←R₂−R₃. A segunda linha esquerda fica (0,1,0), e a direita (1/2,1/2,−1/2).
4. Faça R₁←R₁−R₂. A esquerda vira I₃ e a primeira linha direita fica (1/2,−1/2,1/2). As outras linhas direitas são as encontradas nos passos anteriores.
5. Para conferir M vezes a inversa, some a primeira com a segunda linha da inversa, depois a segunda com a terceira, e depois a primeira com a terceira: obtemos (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1). As duas matrizes são quadradas da mesma ordem, portanto essa identidade exata já prova a inversão.

$X=\begin{pmatrix}2&2\\3&0\end{pmatrix}$.

1. A e B são inversíveis: seus determinantes são um e seis. A⁻¹ tem linhas (1,−1),(0,1), e B⁻¹ é diagonal com valores 1/2 e 1/3.
2. Primeiro isole o parêntese: $X-D=A^{-1}CB^{-1}$. O produto $A^{-1}C=\begin{pmatrix}2&6\\6&3\end{pmatrix}$; multiplicar suas colunas por 1/2 e 1/3 dá linhas (1,2),(3,1).
3. Some D e obtenha X com linhas (2,2),(3,0). A soma acontece depois de desfazer os fatores externos.
4. Para conferir, X−D tem linhas (1,2),(3,1). A(X−D) tem linhas (4,3),(3,1). Multiplicar à direita por B dá linhas (8,9),(6,3), exatamente C.

Para t≠1: solução única (x,y)=(t+3,−1). Para t=1: infinitas soluções (3−s,s), com s real.

1. O determinante é 1−t e a matriz existe para todo t real. Para t≠1, a inversa tem linhas (1,−t),(−1,1), todas multiplicadas por 1/(1−t).
2. O produto dá $x=\frac{3-t(t+2)}{1-t}$. Distribuindo o sinal negativo, o numerador é $3-t^2-2t$. Para fatorar, separamos $-2t=t-3t$: $3+t-3t-t^2=(t+3)-t(t+3)=(1-t)(t+3)$.
3. Como t≠1, podemos cancelar o fator não nulo: $x=\frac{(1-t)(t+3)}{1-t}=t+3$.
4. A segunda coordenada é $y=\frac{t-1}{1-t}=-1$, ainda sob a condição t≠1.
5. Substituindo: x+ty=(t+3)−t=3 e x+y=(t+3)−1=t+2, confirmando a resposta nos valores não singulares.
6. Em t=1, ambas as igualdades viram x+y=3. Toda dupla (3−s,s) é solução. A fórmula simplificada daria (4,−1), que é apenas uma dessas soluções; a inversa não existe nesse valor.

$X=\begin{pmatrix}6&4\\4&3\end{pmatrix}$: encomenda 1 tem seis kits U e quatro V; encomenda 2 tem quatro U e três V. O último par de recursos exigiria −1 kit U e três V, inviável no contexto.

1. As linhas de A representam folhas e tiras; as colunas, U e V. Assim $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}$ e $B=\begin{pmatrix}16&11\\10&7\end{pmatrix}$, com uma coluna por encomenda. X terá uma linha por tipo e uma coluna por encomenda.
2. A⁻¹ tem linhas (1,−1),(−1,2). A primeira linha de A⁻¹B é (16−10,11−7)=(6,4); a segunda é (−16+20,−11+14)=(4,3).
3. Conferindo recursos: na encomenda 1, 2·6+4=16 folhas e 6+4=10 tiras. Na encomenda 2, 2·4+3=11 folhas e 4+3=7 tiras. Todas as quantidades são inteiras não negativas.
4. Para a coluna (1,2), a inversa dá (1−2,−1+4)=(−1,3). Ela satisfaz as equações reais, mas exige quantidade negativa de U. Portanto esses recursos não descrevem uma fabricação permitida pelo modelo.