Determinantes

1. A matriz precisa ser quadrada: mesma quantidade de linhas e colunas. Ter zero ou não ter zero é uma questão diferente.

1. Na ordem um, o resultado é a única entrada, com seu sinal. As barras em torno de uma matriz não significam módulo da entrada.

1. A principal fornece 4·3=12 e a secundária fornece 1·2=2. A diferença é 12−2=10.

1. O cálculo é 2·4−(−3)·1=8−(−3)=11. Subtrair o produto negativo exige somar três.

1. A matriz é triangular superior. O determinante é o produto −2·4·3=−24, sem usar os elementos acima da diagonal.

1. Os três produtos do grupo P somam 1·3·4+2·1·2+0=16. Todos os produtos do grupo Q são zero. Logo P−Q=16.

1. Sarrus organiza as seis permutações da ordem três. Na ordem quatro são 24 escolhas; o esquema de diagonais não é uma regra geral.

1. Retire a segunda linha e a terceira coluna. Restam linhas (2,1),(1,2), com determinante 4−1=3. O menor não inclui o sinal do cofator nem a multiplicação pela entrada quatro.

1. Retirando linha um e coluna dois, o menor tem linhas (3,4),(1,5), com determinante 15−4=11. O sinal da posição (1,2) é negativo, logo C₁₂=−11.

1. A soma correta é 0·C₁₃+4(−3)+5(−5)=−12−25=−37. Os coeficientes são as entradas da coluna escolhida.

1. Transpor conserva o determinante. A transposição não equivale a uma troca de duas linhas.

1. Uma troca de duas filas distintas inverte o sinal. O resultado passa de nove a menos nove.

1. A linearidade em uma coluna produz um único fator −3. O resultado é −3·4=−12.

1. A matriz inteira recebe o fator dois, uma vez por linha. O fator é 2³=8, e 8·4=32.

1. Somar à terceira linha um múltiplo de outra linha conserva o determinante. O coeficiente da própria terceira linha continua um.

1. A parcela com a própria segunda linha contribui 2det(A)=−8. A parcela com a primeira linha repetida contribui zero.

1. A terceira linha é 2R₁−R₂. A linearidade a separa em parcelas com filas repetidas, ambas nulas. Não é necessário um par de linhas proporcionais.

1. H é quadrada e tem determinante 0·0−2·3=−6. A regra do produto diagonal exige triangularidade, ausente aqui.

1. A troca e a multiplicação dão det(U)=−2det(A). Portanto 18=−2det(A) e det(A)=−9.

1. O divisor é pⁿ⁻²=2¹=2. Assim det(A)=14/2=7; esse pivô não é um.

1. Binet permite multiplicar os determinantes: (−2)·3=−6. Não é necessário AB=BA.

1. A potência matricial zero é a identidade, cujo determinante vale um. O caso é calculado diretamente, sem atribuir valor à potência escalar 0⁰.

1. Todas as entradas existem para qualquer real. O determinante é t²−16=(t−4)(t+4), nulo exatamente nos dois valores indicados.

1. A transposta conserva o determinante e a oposta em ordem ímpar troca seu sinal. Portanto det(A)=−det(A), dando zero. As entradas não precisam ser todas nulas.

1. As colunas formam a matriz com linhas (2,1),(1,3). Seu determinante é seis menos um, igual a cinco. O paralelogramo usa o módulo inteiro, sem dividir por dois.

1. A matriz das colunas é triangular e tem determinante 2·3·4=24. O paralelepípedo tem volume 24; o tetraedro tem um sexto: 24/6=4.

det(A)=30, com fator cinco na expansão pela quarta coluna e uma troca de linhas na triangularização.

1. Na quarta coluna só a entrada cinco é não nula e sua posição (4,4) tem sinal mais. O menor é a matriz 3×3 com linhas (0,2,1),(1,−1,2),(2,2,3).
2. Por Sarrus no menor: o grupo P soma 0+8+2=10 e o grupo Q soma −2+6+0=4. O menor vale seis. Assim det(A)=5·6=30.
3. Para conferir por eliminação, troque R₁ e R₂. As linhas passam a (1,−1,2,0),(0,2,1,0),(2,2,3,0),(1,0,4,5). Registre uma inversão de sinal.
4. Faça R₃←R₃−2R₁ e R₄←R₄−R₁, usando a primeira linha atual. As duas linhas ficam (0,4,−1,0) e (0,1,2,5).
5. Faça R₃←R₃−2R₂ e R₄←R₄−R₂/2. Elas ficam (0,0,−3,0) e (0,0,3/2,5).
6. Faça R₄←R₄+R₃/2, obtendo (0,0,0,5). A diagonal final é (1,2,−3,5), com produto −30.
7. Todas as substituições conservaram o determinante; a única troca exige inverter o sinal de −30 para recuperar 30.

Domínio: reais com t≠1. Singular somente em t=3. Determinante positivo exatamente para 1<t<3.

1. A fração exige t−1≠0, portanto t≠1. A exclusão vale antes e depois de qualquer simplificação.
2. O determinante é $\frac{t+1}{t-1}-2$. Usando o denominador comum $t-1\ne0$, obtemos $\frac{(t+1)-2(t-1)}{t-1}=\frac{t+1-2t+2}{t-1}=\frac{3-t}{t-1}$. O sinal de menos diante de $2(t-1)$ precisa alcançar os dois termos.
3. No domínio, a fração é zero exatamente quando 3−t=0: t=3. Esse valor é permitido.
4. Se t<1, o numerador é positivo e o denominador negativo, dando sinal negativo. Se 1<t<3, ambos são positivos. Se t>3, o numerador é negativo e o denominador positivo.
5. O ponto um está excluído e o ponto três dá zero; nenhum pertence à condição de positividade estrita.

$AB=\begin{pmatrix}2&3\\0&3\end{pmatrix}$ e $BA=\begin{pmatrix}2&2\\0&3\end{pmatrix}$; ambos têm determinante seis. det(A+B)=12, diferente de det(A)+det(B)=7.

1. No produto AB, a primeira linha é $(1\cdot2+1\cdot0,\ 1\cdot0+1\cdot3)=(2,3)$; a segunda é $(0\cdot2+1\cdot0,\ 0\cdot0+1\cdot3)=(0,3)$.
2. No produto BA, a primeira linha é $(2\cdot1+0\cdot0,\ 2\cdot1+0\cdot1)=(2,2)$; a segunda é $(0\cdot1+3\cdot0,\ 0\cdot1+3\cdot1)=(0,3)$. Os produtos diferem na posição (1,2), embora sejam triangulares com o mesmo determinante $2\cdot3=6$.
3. det(A)=1 e det(B)=6, então Binet confirma os dois determinantes iguais a seis. A igualdade dos números não garante a igualdade das matrizes.
4. A+B tem linhas (3,1),(0,4), cujo determinante é 12. A soma dos determinantes é sete, portanto a aditividade da matriz inteira falha.
5. A linearidade ensinada exige alterar apenas uma fila, com as demais fixas; não foi esse o procedimento de somar A e B.

Área original 5/2; determinante 3×3 igual a cinco; área da imagem 15 unidades quadradas, com orientação invertida.

1. Os lados a partir de P são (3,1) e (1,2). O determinante é 3·2−1·1=5, então a área é 5/2.
2. A matriz de linhas (1,1,1),(4,2,1),(2,3,1) pode receber R₂←R₂−R₁ e R₃←R₃−R₁. Expandir a terceira coluna deixa o menor com linhas (3,1),(1,2), cujo determinante também é cinco.
3. det(T)=−6. A área recebe o fator seis, dando 6·(5/2)=15. O sinal negativo inverte a orientação.
4. Conferindo: P vira (−2,3), Q vira (−8,6) e R vira (−4,9). Os deslocamentos são (−6,3) e (−2,6), com determinante −36+6=−30. Metade do módulo é 15.