Razões, proporcionalidade e regra de três

1. A quantidade amarela vem primeiro: 4/6 = 2/3. A razão inversa responderia à comparação de azuis para amarelas.

1. A restrição é no denominador. A inversa de uma razão de valor zero teria denominador zero e não existe.

1. 1,5 m = 150 cm; 150/60 = 5/2. A comparação de comprimentos exige unidades iguais.

1. O total corresponde a 3+2 = 5 partes; três são azuis. Razão parte-parte não é a fração parte-total.

1. Dividimos preço por massa: 30/4 = 7,50 reais/kg. A unidade informa a ordem da divisão.

1. 2 h 30 min são 2,5 h. Logo 150/2,5 = 60 km/h. Não usamos 2,30 h.

1. 4 · 21 = 7 · 12 = 84. Os denominadores são não nulos, então a igualdade dos produtos prova a proporção.

1. 5x = 3 · 20 = 60, portanto x = 12. A substituição dá 12/20 = 3/5.

1. Invertendo ambos os lados, temos 4/6 = 10/15. Inverter só um lado muda o valor; os novos denominadores precisam ser não nulos.

1. A regra das diferenças exige denominador não nulo. Como b = d, a nova fração teria denominador zero.

1. 4/6 = 10/x dá 4x = 60 e x = 15. A ordem dos dados faz parte da definição.

1. 4/6 = 6/x implica 4x = 36, logo x = 9. Os dois meios são iguais.

1. É a raiz positiva de 4 · 9: √36 = 6. A média aritmética seria 6,5.

1. y = kx com k constante positivo equivale a y/x = k. Crescer junto é insuficiente.

1. xy = k > 0. Se x recebe um fator, y recebe seu recíproco.

1. Um item custa 7 e dois custam 9. Dobrar os itens não dobra o total; só a parcela variável é diretamente proporcional.

1. 3,6 · 25 000 = 90 000 cm = 900 m. Multiplicamos na mesma unidade antes de converter.

1. A área real é 6 · 100² = 60 000 cm². Como 1 m² = 10 000 cm², são 6 m².

1. O preço é cinco reais por unidade, então sete custam 35. Também 20 · 7/4 = 35.

1. O tempo é 12 · 5/8 = 7,5 h. A metade de uma hora é 30 minutos.

1. Os pesos somam 10. A parte é 1200 · 3/10 = 360 reais.

1. Os recíprocos formam a razão 3:2:1. São seis partes de 110; o peso 2 recebe três delas, 330.

1. Os pesos são 6000 e 12000, isto é, 1:2. Os tempos estão na mesma unidade.

1. Partimos de dez dias. Mais tarefas multiplica esse tempo por 600/480; mais pessoas e mais horas por dia o multiplicam pelos fatores inversos 8/10 e 6/8.
2. Assim d = 10 · (5/4) · (4/5) · (3/4). O produto (5/4) · (4/5) vale 1, restando d = 10 · (3/4) = 30/4 = 7,5 jornadas de oito horas.

1. A taxa é 1/6 + 1/4 = 5/12 de tanque por hora. O tempo é 12/5 = 2,4 h; 0,4 h são 24 min.

1. Os tempos são duas e três horas. São 240 km em cinco horas: 48 km/h. Tempos diferentes não recebem pesos iguais.

Os lados medem 30 m e 20 m. A área é produto de comprimentos, não soma deles.

1. Escreva os lados 3t e 2t metros, com t > 0. A área é seu produto: (3t)(2t) = 6t² = 600. Dividindo os dois lados por 6, t² = 600/6 = 100.
2. Como 10² = 100 e t deve ser positivo, escolhemos t = 10. Portanto 3t = 3 · 10 = 30 e 2t = 2 · 10 = 20 metros.
3. Os lados são 30 m e 20 m; a razão 30/20 é 3/2 e o produto é 600 m². A raiz negativa é excluída por representar comprimento.
4. Dividir 600 em duas partes trataria a área como soma de lados e confundiria m² com m. A hipótese dada é um produto.

Direta: 40 e 80 reais, com quociente comum 20. Inversa: 80 e 40 reais, com produto comum 160.

1. Na direta, os pesos somam 6. As partes são 120 · 2/6 = 40 e 120 · 4/6 = 80. Os quocientes 40/2 e 80/4 valem 20.
2. Na inversa, os recíprocos 1/2 e 1/4 equivalem a 2:1. As partes são 80 e 40. Os produtos 2 · 80 e 4 · 40 valem 160.
3. As duas somam 120, mas a parte do peso maior cresce na direta e diminui na inversa. A constante do produto não precisa ser o total.

Quatro máquinas, supondo taxas iguais, constantes e aditivas, com trabalho divisível e sem restrições adicionais.

1. A taxa individual é 900/(4 · 5) = 45 peças por máquina-hora. Em oito horas, uma máquina faz 360 peças.
2. Se n é o número de máquinas, exigimos 360n ≥ 1200. Dividir pelo número positivo 360 preserva o sentido da desigualdade: n ≥ 1200/360 = 10/3. O menor inteiro que satisfaz essa condição é 4.
3. Três máquinas fariam 1080, insuficiente; quatro têm capacidade para 1440. Arredondar para o inteiro mais próximo daria uma resposta inviável. A conta exige taxas constantes e aditivas, sem gargalo ou mudança de produtividade.

Taxa inicial de 15 peças por máquina-hora; produção nova de 2160 peças.

1. O esforço inicial é 6 · 5 · 4 = 120 máquina-horas. A taxa inicial é 1800/120 = 15 peças por máquina-hora.
2. A nova taxa é 1,2 · 15 = 18. O novo esforço é 8 · 3 · 5 = 120 máquina-horas; o total é 18 · 120 = 2160 peças.
3. Pelos fatores, a produção é 1800 · (8/6) · (3/5) · (5/4) · 1,2. Como 8/6 = 4/3, o produto dos três fatores de máquinas e tempo é (4/3) · (3/5) · (5/4) = 1. Restam 1800 · 1,2 = 2160 peças.
4. Cada fator é direto para a produção, com as demais condições fixas em cada comparação. Supõem-se agentes equivalentes dentro de cada situação, taxas constantes e aditivas e trabalho divisível.