Números e operações

1. O 6 ocupa a ordem das centenas e vale 6 · 100 = 600. Os zeros conservam as outras posições.

1. Trocando uma centena por dez dezenas e uma destas por dez unidades, 503 vira 4 centenas, 9 dezenas e 13 unidades. Subtraindo 278: 13 − 8 = 5, 9 − 7 = 2 e 4 − 2 = 2. Resultado 225.

1. A união reúne todos os elementos, sem repetições. O 3 pertence aos dois conjuntos, mas entra uma vez na lista.

1. Retirando de U os elementos de A, sobra 0. O conjunto {0} tem um elemento e não é vazio.

1. 12/4 = 3, um natural. Sua aparência de fração não impede que o valor pertença a ℕ e, consequentemente, aos demais conjuntos.

1. −0,125 = −125/1000 = −1/8. Frações de inteiros com denominador não nulo são racionais, inclusive as negativas.

1. Entre negativos, o maior módulo fica mais à esquerda. Como 0,7 > 0,07, temos −0,7 < −0,07.

1. A distância é |1,25 − (−2,5)| = |3,75| = 3,75 unidades, sempre não negativa.

1. 46 · 99 = 46(100 − 1) = 4600 − 46 = 4554. A distributividade fornece uma conta exata.

1. 0/8 = 0, porque 8 é não nulo. As outras expressões têm divisor zero e não estão definidas.

1. Subtrair −2 é somar 2. Assim −8 + 3 + 2 = −3. Isso não é uma multiplicação de sinais.

1. Dentro do parêntese, 4 − 9 = −5. Seu oposto é 5; então 5 − 3 = 2.

1. Há três fatores negativos, quantidade ímpar: o produto é negativo. Seu módulo é 2 · 3 · 4 = 24.

1. Multiplicação e divisão têm a mesma prioridade e seguem da esquerda para a direita: (36 ÷ 6) · 2 = 6 · 2 = 12.

1. Multiplicamos numerador e denominador por 5: 4/7 = 20/35. Mudar apenas um deles alteraria o valor.

1. Dividindo numerador e denominador por 12, obtemos −2/3. O sinal é preservado e não há divisor positivo comum maior que 1.

1. Os denominadores são positivos. Os produtos cruzados são 7 · 5 = 35 e 3 · 12 = 36. Como 35 < 36, a primeira fração é menor.

1. Em doze avos, 3/4 = 9/12 e 5/6 = 10/12. A soma é 19/12, maior que 1. Não somamos denominadores.

1. 1/4 = 2/8. Portanto −5/8 + 2/8 = −3/8.

1. Calculamos (2/5) · 75 = 2 · 15 = 30 unidades. A referência é a quantidade inicial de 75.

1. O produto é −42/63 = −2/3. Podemos simplificar 14 com 7 e 3 com 9 antes de multiplicar.

1. Conservamos a primeira fração e multiplicamos pelo inverso da segunda: (5/6)(3/10) = 15/60 = 1/4. O divisor é não nulo.

1. O numerador é 1/2. Dividir 1/2 por 3/4 dá (1/2)(4/3) = 2/3. A barra principal agrupa o numerador inteiro.

1. São quatro casas: 0,0625 = 625/10000 = 1/16. O zero após a vírgula conta como posição.

1. 4,8 = 4,80. Comparando centésimos, 408 < 480. Zeros internos têm valor posicional e não podem ser apagados.

1. Alinhamos as ordens: 8,60 + 0,47 = 9,07. A soma de 60 e 47 centésimos gera 107 centésimos, isto é, 1 inteiro e 7 centésimos.

1. 6 · 3 = 18. Os fatores têm 2 e 1 casas, então o produto é 18/1000 = 0,018.

1. Multiplicamos os dois números por 100: 432 ÷ 12 = 36. A conferência é 36 · 0,12 = 4,32.

1. Multiplicando os dois termos por 5, 7/20 = 35/100 = 0,35. A expansão termina.

1. Se x = 0,181818…, então 100x − x = 18. Logo x = 18/99 = 2/11. Não é 18/100, pois a repetição é infinita.

1. 100x = 16,666… e 10x = 1,666…; a diferença é 90x = 15. Assim x = 15/90 = 1/6.

1. Sua geratriz é 9/9 = 1. Os truncamentos finitos são menores que 1; a dízima infinita não é nenhum desses truncamentos. Não existe uma última casa decimal com um 1 depois de infinitos zeros.

1. √49 = 7 é inteiro e racional. Uma escrita com radical não torna o valor automaticamente irracional. √2 e seu oposto são irracionais; π também é irracional.

1. Os valores comparados são positivos. Como 2,23² < 5 < 2,24², a raiz principal fica estritamente entre 2,23 e 2,24. Não se obteve uma igualdade decimal exata.

1. Em −3² a base é 3 e depois se toma o oposto: −9. Em (−3)² a base inclui o sinal e o produto (−3)(−3) vale 9.

1. (−2)⁻³ = 1/(−2)³ = 1/(−8) = −1/8. O sinal negativo vem da base elevada a expoente ímpar, não apenas do expoente negativo.

1. Com a mesma base não nula, somamos expoentes: 5³ · 5⁻¹ = 5² = 25.

1. O coeficiente deve ter módulo entre 1 e 10. 5,6 · 10⁻⁵ = 5,6/100000 = 0,000056. As alternativas 56 · 10⁻⁶ e 0,56 · 10⁻⁴ têm o mesmo valor, mas não estão normalizadas.

1. √((−11)²) = |−11| = 11. A raiz principal é não negativa; o símbolo não pede todas as soluções de uma equação quadrática.

1. (−4)³ = −64. Índice ímpar admite radicando negativo e tem uma única raiz real.

1. 4 − 6 = −2; (−2)² = 4; o colchete vale 6. Depois 3 · 6 = 18 e 20 − 18 = 2.

1. O valor está exatamente no meio entre −2,34 e −2,35. A convenção declarada escolhe o de maior módulo, −2,35. O erro é 0,005, metade de um centésimo.

1. A primeira retirada é 30 L, restando 60 L. A segunda é metade desses 60, ou 30 L. Restam 30 L. As frações têm referências distintas.

1. 15 peças usam 9 m e deixam 0,4 m, menos que 0,6 m. Dezesseis exigiriam 9,6 m, mais que o disponível. A contagem de peças completas precisa ser inteira.

$1/2$.

1. Primeiro 1/2 − 1/3 = 1/6. No colchete, 3/4 − 1/6 = 9/12 − 2/12 = 7/12.
2. O divisor 7/6 é não nulo. Multiplicamos por seu inverso: (7/12)(6/7) = 1/2.
3. Não se deve inverter a diferença de dentro do colchete. A inversão é aplicada somente ao divisor completo.

$111/55$.

1. Há uma casa no anteperíodo e duas no período. Assim 10x = 20,181818… e 1000x = 2018,181818…
2. Subtraindo, 990x = 1998. Logo x = 1998/990. Dividindo ambos os termos por 18, obtemos 111/55.
3. 111 = 3 · 37 e 55 = 5 · 11 não têm divisor comum maior que 1. A fração é irredutível e representa a dízima infinita, não 2,018 finito.

22 peças completas e sobra de 0,4 m.

1. O primeiro trabalho usa (2/5) · 30 = 12 m, deixando 18 m.
2. 18 ÷ 0,8 = 22,5. Só peças inteiras são aceitas. Vinte e duas usam 17,6 m e deixam 0,4 m.
3. Vinte e três precisariam de 18,4 m, mais que os 18 m restantes. A conferência total é 12 m + 17,6 m + 0,4 m = 30 m.

2,64 < √7 < 2,65; arredondamento 2,65, com erro no máximo 0,005.

1. 2,64² = 6,9696 < 7 e 2,65² = 7,0225 > 7. Como os valores são positivos, a raiz está entre 2,64 e 2,65.
2. Esse primeiro intervalo sozinho não diz de qual extremo a raiz está mais próxima. O ponto médio é 2,645. Como 2,645² = 6,996025 < 7, temos √7 > 2,645.
3. Logo √7 está mais próxima de 2,65 do que de 2,64, e arredonda para 2,65. O passo é 0,01; o erro é no máximo 0,005. A igualdade √7 = 2,65 seria falsa.