Divisibilidade

1. 22 = 4 · 5 + 2, com 0 ≤ 2 < 4. A sobra precisa ser não negativa e menor que o divisor.

1. A igualdade é verdadeira, mas 7 ainda contém um grupo de 5. O registro euclidiano é 17 = 5 · 3 + 2.

1. A barra vertical afirma divisibilidade. Como 35 = 5 · 7, 5 é divisor de 35 e 35 é múltiplo de 5.

1. 8 divide zero porque o produto 8 · 0 é zero. Isso não autoriza usar zero como divisor.

1. Todo produto 0 · k é zero. Logo o único valor obtido é 0; não confundimos os múltiplos de zero com seus divisores positivos.

1. Os pares são 1 e 36, 2 e 18, 3 e 12, 4 e 9, 6 e 6. O 6 é contado uma vez, dando nove valores distintos.

1. Os pares 1 · 24, 2 · 12, 3 · 8 e 4 · 6 fornecem os oito divisores. Zero é excluído e 8 não pode faltar.

1. 1 + 2 = 3 é divisível por 3, mas nem 1 nem 2 é. A propriedade de somar múltiplos não admite essa recíproca.

1. 7136 = 7100 + 36. Como 100 é múltiplo de 4, a primeira parcela é divisível e basta testar 36.

1. Para 8, o bloco necessário tem três casas, porque 1000 é múltiplo de 8. 2312 = 2000 + 312 = 8 · 289.

1. Os finais possíveis são 00, 25, 50 e 75, pois são os múltiplos de 25 entre 0 e 99. 3475 = 25 · 139.

1. A soma 1 + 2 + 4 + 5 é 12, múltiplo de 3 e não de 9. O teste por 3 não substitui o teste por 9.

1. A soma a + 6 fica de 6 a 15. O único múltiplo de 9 possível é 9; logo a = 3 e o número é 432.

1. A soma alternada começando pelas unidades vale 11. Como 1309 = 11 · 119, a conclusão também pode ser conferida por multiplicação.

1. O restante após retirar a unidade é 20. Subtrair o dobro de 3 dá 14, divisível por 7; portanto 203 também é.

1. 2 e 3 são primos entre si e seu MMC é 6. As duas condições devem valer simultaneamente.

1. 12 é múltiplo de 4 e de 6 e não é de 24. O MMC de 4 e 6 é 12; seu produto 24 duplica um fator comum.

1. Um primo precisa ser maior que 1 e ter exatamente dois divisores positivos. O número 1 tem apenas um e fica fora das duas classes.

1. 2 tem os divisores 1 e 2. Todo par maior que 2 possui também o divisor 2, além de 1 e de si mesmo, sendo composto.

1. √97 está entre 9 e 10. Se 97 fosse composto, algum primo não maior que esse limite o dividiria. Os testes eliminam todas as possibilidades.

1. A condição é p ≤ √n, não p < √n. Excluir a igualdade deixaria passar quadrados de primos.

1. 180 = 18 · 10 = (2 · 3 · 3)(2 · 5) = 2² · 3² · 5. A expressão 2 · 9 · 10 ainda contém fatores compostos.

1. As divisões sucessivas usam os fatores 2, 2, 2, 3 e 5. O produto é 8 · 3 · 5 = 120.

1. O expoente do 2 tem quatro opções, de 0 a 3; o do 3 tem três, de 0 a 2. São 4 · 3 = 12 escolhas distintas.

1. Os pares de fatores distintos contribuem de dois em dois. Só num quadrado há um divisor central, a raiz, sem parceiro distinto. Equivale a todos os expoentes primos serem pares.

1. Os divisores comuns são 1, 2, 3 e 6; o maior é 6. O número 90 é o MMC, que responde a outra pergunta.

1. Todos os divisores de 18 dividem zero, e o maior é 18. Para dois zeros, todos os positivos são comuns e não há um maior.

1. Os dois são compostos, mas não compartilham fator primo. Ser primo entre si é uma relação entre números, não a classificação individual de cada um.

1. Os expoentes mínimos são 3 para o 2, 1 para o 3 e zero para o 5. O produto é 2³ · 3 = 24.

1. O último resto não nulo é 18. Na divisão final, 36 = 18 · 2 + 0, ele é o divisor.

1. Quem divide a e b divide r = a − bq; quem divide b e r divide a = bq + r. A equivalência conserva todos os divisores comuns.

1. Zero é múltiplo comum, mas a definição o exclui. Nas listas positivas, o primeiro comum é 12.

1. Tomamos os maiores expoentes: 2⁴ · 3² · 5 = 720. O produto 8640 conta fatores comuns duas vezes.

1. 6 é o maior divisor comum; 24 é o primeiro múltiplo comum positivo. Quando um positivo divide o outro, o menor é o MDC e o maior é o MMC.

1. MDC · MMC = 12 · 18 = 216. Dividindo por 6, MMC = 36. A identidade é para dois números positivos.

1. 12 = 2² · 3, 18 = 2 · 3² e 30 = 2 · 3 · 5. Os expoentes máximos dão 2² · 3² · 5 = 180.

1. O número de kits precisa dividir as duas quantidades. O MDC é 42; cada kit fica com 2 azuis e 3 amarelas.

1. Os tempos são contados da mesma origem. O MMC de 12 e 18 é 36 minutos, então o primeiro reencontro será às 8h36.

1. O MDC é 18. Dividir numerador e denominador por 18 dá 7/10. 21/30 e 63/90 ainda compartilham divisores.

1. O teste é feito no denominador reduzido. 3/6 = 1/2 = 0,5; 1/28 já é irredutível e seu denominador tem um primo diferente de 2 e 5.

1. Somamos os restos e reduzimos novamente: 5 + 2 = 7 = 6 + 1. O resto final precisa ser menor que 6.

1. Os restos dos fatores são 5 e 2. O produto 10 tem resto 4 por 6. Conferindo, 1786 = 6 · 297 + 4.

1. 2026 = 4 · 506 + 2. Cada bloco 2⁴ deixa resto 1, então sobra considerar 2², cujo resto é 4. A hipótese do ciclo foi verificada.

1. O lema de Euclides permite cancelar o fator 6, primo entre si com 7. Ele não determina o valor de n nem exige que n seja primo.

360 tem 24 divisores positivos; o MDC do par é 36 e o MMC é 2520.

1. 360 = 2³ · 3² · 5 e 252 = 2² · 3² · 7. A contagem para 360 é (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 24.
2. Os expoentes mínimos fornecem MDC = 2² · 3² = 36. Os máximos fornecem MMC = 2³ · 3² · 5 · 7 = 2520.
3. Conferimos 2520 ÷ 360 = 7 e 2520 ÷ 252 = 10. Além disso, 36 · 2520 = 90720 = 360 · 252.

Pedaços de 12 cm: cinco da primeira fita e sete da segunda. Os avisos voltam a coincidir após 420 segundos, isto é, sete minutos.

1. 60 = 2² · 3 · 5 e 84 = 2² · 3 · 7. O comprimento deve dividir as duas medidas e ser o maior: MDC = 2² · 3 = 12 cm.
2. 60 ÷ 12 = 5 e 84 ÷ 12 = 7: são doze pedaços ao todo. A unidade do comprimento é centímetro; as contagens de pedaços não têm essa unidade.
3. O tempo do reencontro deve ser múltiplo dos dois períodos e positivo: MMC = 2² · 3 · 5 · 7 = 420 segundos. Como os avisos têm origem comum, esse é o primeiro reencontro; 420 ÷ 60 = 7 minutos.

42/120 = 7/20 = 0,35 é finito; 1/30 é irredutível e não tem decimal finito.

1. O MDC de 42 e 120 é 6; a redução dá 7/20. Como 20 = 2² · 5, podemos obter 35/100 = 0,35.
2. 1/30 já está irredutível e 30 = 2 · 3 · 5. O fator primo 3 impede um denominador que seja potência de dez.
3. Ambos os denominadores originais são pares, mas isso só confirma um fator 2. O critério exige que, após reduzir, nenhum primo diferente de 2 e 5 permaneça.

O MDC é 18 e 18 = 4 · 252 − 5 · 198. Todo divisor comum divide 18.

1. 252 = 198 + 54; 198 = 3 · 54 + 36; 54 = 36 + 18; 36 = 2 · 18. O último resto não nulo é 18.
2. Substituímos 36: 18 = 54 − (198 − 3 · 54) = 54 − 198 + 3 · 54 = 4 · 54 − 198. O sinal de menos antes dos parênteses troca os sinais internos.
3. Substituímos 54: 18 = 4 · (252 − 198) − 198 = 4 · 252 − 4 · 198 − 198 = 4 · 252 − 5 · 198. A distributividade explica o fator 4, e reunir as parcelas de 198 produz o coeficiente −5.
4. Se d divide 252 e 198, também divide qualquer combinação inteira deles, em particular 18. Como 18 divide ambos, ele é comum e nenhum divisor positivo comum pode ultrapassá-lo.